Genelleştirilmiş Vandermonde-Matrix

Question

İzin Vermek $z_1, \ldots, z_n \in \mathbb{C}\setminus\left\lbrace 0 \right\rbrace$ farklı karmaşık sayılar olabilir, $\lambda_1 < \lambda_2 < \ldots < \lambda_n$ pozitif tamsayılar ve tanımla $$A = \left( z_i^{\lambda_k}\right)_{i,j = 1,\ldots, n} = \begin{pmatrix} z_1^{\lambda_1} & z_1^{\lambda_2} & \cdots & z_1^{\lambda_n} \\ z_2^{\lambda_1} & z_2^{\lambda_2} & \cdots & z_2^{\lambda_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ z_n^{\lambda_1} & z_n^{\lambda_2} & \cdots & z_n^{\lambda_n} \end{pmatrix}.$$ Bu doğru mu $A$ tersinir mi?

Bu ilgili soruyu buldum ama bu, benim durumumda temel alanın karmaşık düzlem olduğu sonlu alanlarla ilgileniyor.

Eğer $\lambda_k = k -1 $ için $k = 1, \ldots, n$, sonra $A$iyi bilinen Vandermonde-Matrix'tir, bu nedenle bu durumda cevap olumludur. Determinantını hesaplamaya çalıştım$A$ nasıl yapıldığına benzer şekilde $A$ Vandermonde-Matrix, ancak başarılı değil.

Bu soruyu cevaplayan bir referansı veya kanıtı olan var mı?

Şimdiden teşekkürler...

Answer 1

Tersine çevrilebilir olması gerekmez. Düşünmek$z_1 = 1, z_2 = -1$, ile $\lambda_1 = 2, \lambda_2 = 4$. Ardından ortaya çıkan matris$2 \times 2$ açıkça tersine çevrilemeyen birler matrisi.

Bunun neden genel olarak tersinir olmadığını anlamak için, Vandermonde matrisini polinom enterpolasyonu olarak düşünün. Normal Vandermonde matrisi, örneğin,$(n - 1)$dereceden polinom geçiyor $n$farklı noktalar. Burada sorduğunuz, terimlerin katsayıları dışında katsayılarının tümü sıfır olan bir polinom bulmaktır.$x^{\lambda_1}, x^{\lambda_2}, \cdots, x^{\lambda_n}$. Bir karşı örnek oluşturmak için, böyle bir polinomun$\lambda_n - \lambda_1$ sıfır olmayan kökler ve eğer $n$ bunların $\lambda_n - \lambda_1$ kökler farklı, bulabiliriz $n$ vermek için farklı değerler $z_1, \cdots, z_n$ ve matrisin tekil olmasını sağlayın (neden?).