GIT ve tekillikler

Question

İzin Vermek $G$ karmaşık bir afin çeşidi üzerinde hareket eden karmaşık bir indirgeyici grup olmak $X$ ve izin ver $X // G = \operatorname{Spec}\mathbb{C}[X]^G$ GIT bölümü olun.

Tekil lokusu arasında bir ilişki var mı? $X$ ve bu $X // G$?

Elbette, $X//G$ son derece tekil olabilir $X$pürüzsüz. Ancak, örneğin, tekil noktaların olup olmadığını (veya hangi koşullar altında) merak ediyordum.$X$ tekil noktalarına eşlenir $X // G$.

Düzenle. Spenser'in aşağıdaki güzel yorumu, ikincisinin cevabının hayır olduğunu gösteriyor. Ama belki de daha iyi ve daha kesin bir soru şudur:$X // G$ tekil değil $y$tekil olmayan var mı $x \in X$ eşleme $y$? Başka bir deyişle, tüm lifleri yapın$X \to X // G$ tekil olmayan noktalarda tekil olmayan bir nokta içerir $X$? İndirgenemezlik veya başka güzel özellikler üstlenmeye hazırım.

Answer 1

Bu, gözden geçirilmiş sorunun cevabıdır. İndirgeyici grubun nerede düzgün ve bağlantılı olduğu düşünebildiğim en basit karşı örnek.$X$ normal ve afin ve nerede $Y=X//G$ tekil lokusunda bulunan bölüm haritasının lifleri olsa bile pürüzsüzdür. $X$.

İzin Vermek $Y$ olmak $\text{Spec}\ k[x,y,z]$yani afin $3$-Uzay. İzin Vermek$G$ çarpımsal birimler grubu olmak, $G=\text{Spec}\ k[u,u^{-1}]$. İzin Vermek$X$ olmak $\text{Spec}\ k[x,y,z,s,t,t^{-1}]/\langle f \rangle$ nerede $f$ polinomdur, $$f=s^2+t(xz-y^2).$$ Eylemine izin ver $G$ açık $X$ tarafından tanımlanmak $$\mu:G\times_{\text{Spec}\ k} X \to X, \ \ \mu(u,(x,y,z,s,t)) = (x,y,z,us,u^2t). $$ Yüzüğü $G$-değişmeyen polinomlar alt halkadır, $$k[X]^G = k[x,y,z].$$ Bölüm haritası yalnızca olağan bir projeksiyondur, $$q:X\to Y, \ \ q(x,y,z,s,t) = (x,y,z).$$ Yoğun Zariski için açık $U = D(xz-y^2)\subset Y$ters görüntü $q^{-1}(U)$ bir $G$-veya bitti $U$.

Tekil lokusu $X$ bekar $q$-lif, $q^{-1}(0,0,0)$. Başlangıç ​​noktası düz bir nokta olsa da$Y$bunun her noktası $q$-fiber tekil bir noktadır $X$.