İntegralini değerlendirin $\sin(\ln(x))dx$

Question

Biri bu çözümü benim için doğrulayabilir mi? Teşekkürler!

Değerlendirmek $\displaystyle \int \sin(\ln(x))dx$.

İlk olarak, ikame yaparak işleri biraz basitleştirelim $y=ln(x)$. Sonra$dy = \frac{1}{x}dx$ ve orijinal integralimiz şimdi eşittir: $$\int \sin(y)x dy$$.

Ama o zamandan beri $y=\ln(x)$, sahibiz $e^y=e^{\ln(x)}=x$ ve böylece orijinal integralimiz eşittir $$\int \sin(y)e^y dy$$

Bu formun integrallerini değerlendirmek, bilmeniz gereken fazladan bir numaraya sahiptir. Ayarlayarak başlayalım$u=\sin(y)$ ve $dv=e^ydy$. Sonra$du=\cos(y)dy$ ve $v=e^y$ Böylece sahibiz:

$\int \sin(y)e^y dy$

$=\int udv = uv - \int vdu = \sin(y)e^y - \int e^y \cos(y)dy$

Şimdi parçalara göre entegrasyon yapalım $\int e^y \cos(y)dy$

Ayarlamak $u=\cos(y)$ ve $dv = e^ydy$ yani $du = -\sin(y)dy$ ve $v=e^y$ ve bizde:

$\int e^y \cos(y)dy = \int udv = uv - \int vdu = \cos(y)e^y - \int e^y(-\sin(y))dy = \cos(y)e^y + \int e^y\sin(y)dy$

Öyleyse, bunun neye eşit olduğuna geri dönüp baktığımızda (uzun eşitlikler zincirimizden ve parçalara göre iki farklı entegrasyon durumundan sonra, elimizde: $$\int \sin(y)e^y dy=\sin(y)e^y - (\cos(y)e^y + \int e^y\sin(y)dy)$$

negatifi dağıtmak ...

$$\int \sin(y)e^y dy=\sin(y)e^y - \cos(y)e^y - \int e^y\sin(y)dy$$

HERES THE TRICK: şimdi ekliyoruz $\int e^y\sin(y)dy$ denklemin her iki tarafına da:

$$2\int \sin(y)e^y dy=\sin(y)e^y - \cos(y)e^y + C$$

Böylece:

$$\int \sin(y)e^y dy=\frac{e^y}{2}(\sin(y)-\cos(y)) + C$$

şimdi ikame $y=\ln(x)$ (yani e ^ y = x) ve $dy=\frac{1}{x}dx$ almak:

$$\int \sin(\ln(x))dx=\frac{x}{2}(\sin(\ln(x))-\cos(\ln(x)) + C$$

Bu "zor" adım nedeniyle, entegrasyon sabitinin nerede ortaya çıktığını görmek biraz tuhaf ... Ama mesele şu ki, gerçekten "entegre olmasak da "parçalara göre entegrasyonumuzdaki son zirve.

Answer 1

Tamam gibi, ama bunu daha doğrudan yapabilirsin: $$\int \sin(\ln x) \, dx= \int x \ \sin(\ln x) \,\frac1x\; dx= -x \cos(\ln x)+\int \cos(\ln x)\,dx $$ ve $$ \int \cos(\ln x) \, dx= \int x \ \cos(\ln x) \,\frac1x\; dx= x \sin(\ln x)-\int \sin(\ln x)\,dx$$ buradan çıkarabilirsin $\int \sin(\ln x) \, dx$ ve $ \int \cos(\ln x) \, dx$.

Answer 2

Ya da daha kısaca,$$\int\sin\ln xdx=\Im\int x^idx=\Im\left(\frac{1-i}{2}x^{1+i}\right)+C=\frac12x(\sin\ln x-\cos\ln x)+C.$$