Kapalı set içeren açık setler

Question

İzin Vermek $A,B$ Bir metrik yayda 2 ayrık kapalı küme olmak $(X,d)$ bunu biliyorum $A=\cap_{n\in \Bbb N}C_n$ nerede $C_n=\{x\in X:d(x,A)<1/n\}$ ve $B=\cap_{n\in \Bbb N}D_n$ nerede $D_n=\{x\in X:d(x,B)<1/n\}$.

Doğru görünüyor $\exists n \in \Bbb N$ öyle ki $C_n\cap D_n=\emptyset$.

Benim fikrim olmadığını varsaymak ve bir dizi inşa etmek $x_n\in C_n\cap D_n\forall n\in \Bbb N$. Ama çelişkiyi bulmakta sıkışıp kaldım.

Answer 1

Hayır, bu doğru değil. Örneğin al$X = \mathbb R^2$ öklid metriği ile donatılmış, $A=\{(x,0) \mid x \in \mathbb R\}$ ve $B = \{(x, 1/x) \mid x \neq 0\}$.

Bu, alt kümelerden birinin kompakt olması gerekiyorsa doğrudur.