Kolay Gerçek Analiz Problemi
Bu Gerçek Analiz problemini ISI tarafından 11. sınıf için yayınlanan MTRP kitabından buldum. I.
İşlevi varsayalım $f:[a,b]\to \Bbb R$ ayırt edilebilir $(a,b)$, nerede $b-a\geq 4$. Var olduğunu kanıtla$x_0\in (a,b)$ öyle ki $$f'(x_0)<1+\big(f(x_0)\big)^2.$$
Çözme fikirlerim: Problemi ilk gördüğümde, sadece tersinden izledim ve bu problemin içerdiği fikrine kapıldım $\arctan(x)$. Bu yüzden bir işlevi düşündüm$g(x) = \arctan(f(x))$. Bu, gerçek bir sayı için bunu göstermeye dönüştürülecek problemdir.$c$ sahibiz $g(c) < c$. Bunun için başka bir işlevi düşündüm$h(x) = g(x) - x$. Ama bu noktada vurdum ve nereye gideceğime dair hiçbir fikrim yok.
Yanıtlar
Sadece yapıyı kullan $f'(x_0) = 1 + f(x_0)^2$. Bunun anlamı$g(x) = \tan^{-1}f(x)$ MVT kullanacağımız gerekli yapımızdır.
Gibi $x_2- x_1 \geqslant 4 \implies x_2 - x_1 > \pi $. Sonra MVT ile$g$ içinde $[x_1, x_2]$ var olduğuna sahibiz $x_0 \in (x_1, x_2)$ öyle ki $$ \frac{g(x_2) - g(x_1)}{x_2-x_1 } = g'(x_0)$$ $$ \implies \frac{\tan^{-1} f(x_2) - \tan^{-1} f(x_1)}{x_2 - x_1} = [\tan^{-1}f(x_0)]'= \frac{f'(x_0)}{1 + f(x_0)^2} $$ $$ \implies \frac{\frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) }{x_2 - x_1} \geqslant \frac{f'(x_0)}{1 + f(x_0)^2} \quad \text{as }\tan^{-1} \in [-\pi/2, \pi/2] $$ $$ \implies 1 > \frac{\pi}{x_2 - x_1} \geqslant \frac{f'(x_0)}{1 + f(x_0)^2} \implies 1 + f(x_0)^2 > f'(x_0) $$
Bu yanlışsa, türevi $\arctan f(x)$ yani $\frac {f'(x)} {1+f(x)^{2}} $ aşar veya eşittir $1$. MVT tarafından$\arctan f(b)-\arctan f(a) \geq (b-a)\geq 4$. Fakat$\arctan f(b)-\arctan f(a) <\pi$ bu yüzden bir çelişkimiz var.