Komütatör nedir $|\mathbf{\hat{x}}|$ ve $|\mathbf{\hat{p}}|$? [kapalı]

Oct 15 2020

Doğrudan konuya: konumun büyüklüğünün ve momentum operatörlerinin komütatörünün sonucu nedir ve ona nasıl yaklaşabilirim, yani ,$[|\mathbf{\hat{x}}|,|\mathbf{\hat{p}}|]=$ ?

Çabalarım: (1) kullanmaya çalışmak $|\mathbf{\hat{x}}|=\sqrt{\sum \hat{x}_i\hat{x}_i}$karekök nedeniyle yardımcı görünmüyor; (2) tanımlama$|\mathbf{\hat{x}}|$ radyal konum operatörü olarak $\hat{r}$ ve "radyal momentum" operatörünü kullanarak $\hat{p}_r$ yardımcı olmadı çünkü $\hat{p}_r \neq |\mathbf{\hat{p}}|$ ve $\hat{p}_r$ bir toplamın kareköküdür $|\mathbf{\hat{p}}|^2$ ve açısal momentum operatörünün karesi.

EKLER (19 Ekim 2020)

Tanımlamada bir takım teknik zorluklar olabileceğini görüyorum $|\mathbf{\hat{x}}|$ ve $|\mathbf{\hat{p}}|$ çünkü bunlar operatörlerin kare kökleridir $\hat{x}_i$ ve $\hat{p}_i$. Daha net olmak gerekirse, resmi bir ifade arıyorum$[|\mathbf{\hat{x}}|,|\mathbf{\hat{p}}|]$bu, operatörlerin kareköküyle ilgili teknik sorunları gözden kaçırabilir (ama mutlaka göz ardı etmemelidir). Örneğin, iyi bilinen sonucun durumu bu mu merak ediyorum$[x_i,F(p_x,p_y,p_z)] = i\hbar \frac{\partial F}{\partial p_i}$ eğer alırsak $F=|\mathbf{\hat{p}}|$ Böylece $[x_i,|\mathbf{\hat{p}}|] =i\hbar\frac{p_i}{|\mathbf{\hat{p}}|}$.

Yanıtlar

4 Qmechanic Oct 16 2020 at 15:27

İşte test edilmemiş bazı eksik fikirler.

Operatörleri tanımlayın $$\begin{align}J_-~:=&~\frac{1}{2}{\bf x}^2,\qquad J_+~:=~\frac{1}{2}{\bf p}^2,\cr J_z~:=&~\frac{1}{4}\sum_{j=1}^3 \{x^j, p_j\}_+.\end{align}\tag{1}$$ Biri onların bir $sl(2,\mathbb{R})$ Lie cebiri $$ [J_-,J_+]~=~2i\hbar J_z, \qquad [J_z,J_{\pm}]~=~i\hbar J_{\pm}.\tag{2}$$ Bu dilde OP, komütatörü hesaplamak istiyor $2[\sqrt{J_-},\sqrt{J_+}]$.
Normalleştirmeyi tanımlayın $$\sigma_{\pm}~:=~\frac{J_{\pm}}{\sqrt{2}\hbar}, \qquad \sigma_z~:=~\frac{J_z}{i\hbar}.\tag{3}$$ Sonra $$ [\sigma_+,\sigma_-]~=~\sigma_z, \qquad [\sigma_z,\sigma_{\pm}]~=~\sigma_{\pm}.\tag{4}$$ $2\times 2$ Pauli matrisleri aynı Lie cebirini karşılar (temeldeki ilişkisel cebir farklı olsa da).
Bu Phys.SE gönderisine benzer bir karekök operatörü kavramını tanımlamak mümkün olabilir .
Holstein-Primakoff veya Dyson-Maleev gibi bir temsili uyarlamak mümkün olabilir, cf. bu Phys.SE gönderisi veya belki bazı sıkıştırılmış durum yöntemleri.

1 Gec Oct 17 2020 at 13:36

Kuantum mekaniğinde, bir operatörü ifade etmenin farklı olasılıkları vardır. Operatörün bir matrisini düşünelim$\hat{A} = [|\hat{\bf{x}}|, |\hat{\bf{p}}|]$ koordinat reperesantasyonunda: $$ A(\bf{x},\bf{x'}) = \langle \bf{x} | \hat{A}|\bf{x'}\rangle = (|\bf{x}| - |\bf{x'}|) \langle \bf{x} | |\hat{\bf{p}}||\bf{x'}\rangle $$ Spektral temsiline göre $\bf{p}$, sahibiz $$ \langle \bf{x} | |\hat{\bf{p}}||\bf{x'}\rangle = {\rm \frac1{(2\pi\hbar)^3}} \int |\bf{p}| e^{\frac{i}\hbar\bf{p}(\bf{x}-\bf{x'})} \bf{d^3 p} {\rm\ \equiv \frac1{(2\pi\hbar)^3} f(}{\bf x - x'}{\rm )} $$ Ayrıca, işlevi ele alacağım $$ f(\bf{R}) = \int |\bf{p}| e^{\frac{i}\hbar\bf{p}\bf{R}} \bf{d^3 p} $$genelleştirilmiş bir işlev olarak. O zaman bizde$$ f(\bf{R}) = -\hbar^2\Delta_{\bf{R}} \int \frac1{|\bf{p}|} e^{\frac{i}\hbar\bf{p}\bf{R}} \bf{d^3 p} = {\rm -4\pi\hbar^4} \Delta_{\bf{R}}{\rm \frac1{{\bf R}^2}}\quad {\rm (1)} $$ İyi bilinmektedir ki $$ -\Delta \frac1{|\bf{R}|} = {\rm 4\pi\delta(}\bf{R}{\rm )} $$ Fonksiyon (1) için analog yerel temsil mevcutsa, o zaman ifade etmek mümkün olabilir $\hat{A}$ basit bir kombinasyon olarak $\hat{\bf x}$ ve $\hat{\bf p}$operatörler. Aksi takdirde, sanırım bunun için basit bir ifade yok$\hat{A}$.

andrehgomes Oct 17 2020 at 10:50

MK Transtrum ve J.-FS Van Huele, J. Math. Phys. 46 , 063510 (2005). Fonksiyonların komütatörü için genel bir ifade türetmişlerdir.$f(A,B)$ ve $g(A,B)$ değişmeyen operatörlerin oranı $A$ ve $B$:

\ başlangıç {denklem} \ sol [f (A, B), g (A, B) \ sağ] = \ toplam_ {k = 1} ^ \ infty \ frac {(- c) ^ k} {k!} \ left (\ frac {\ kısmi ^ kg} {\ kısmi A ^ k} \ frac {\ kısmi ^ kf} {\ kısmi B ^ k} - \ frac {\ kısmi ^ kf} {\ kısmi A ^ k} \ frac {\ kısmi ^ kg} {\ kısmi B ^ k} \ sağ), \ quad \ text {burada} \ quad c = [A, B]. \ end {equation}

Geçici çözüm

Özel durumu düşünüyorum $f=f(A)$ ve $g=g(B)$:

\ başlangıç {denklem} \ sol [f (A), g (B) \ sağ] = - \ toplam_ {k = 1} ^ \ infty \ frac {(- c) ^ k} {k!} \ frac {\ kısmi ^ kf} {\ kısmi A ^ k} \ frac {\ kısmi ^ kg} {\ kısmi B ^ k} = \ left [- \ sum_ {k = 1} ^ \ infty \ frac {(- c) ^ k } {k!} \ frac {\ kısmi ^ k} {\ kısmi A ^ k} \ frac {\ kısmi ^ k} {\ kısmi B ^ k} \ sağ] f (A) g (B), \ end { denklem}

anlamını anladığımız sürece son adımın sorunlu olmadığına inanıyorum: türev $\partial_A\equiv\frac{\partial}{\partial_A}$ Üzerinde davranır $f(A)$ ve türev $\partial_B\equiv\frac{\partial}{\partial_B}$ Üzerinde davranır $g(B)$. Sonunda sonucu basitleştiriyoruz

\ başlangıç {denklem} [f (A), g (B)] = \ left (1-e ^ {- c \ kısmi_A \ kısmi_B} \ sağ) f (A) g (B) \ quad \ text {veya} \ quad g (B) f (A) = e ^ {- c \ kısmi_A \ kısmi_B} f (A) g (B). \ end {equation}

Yönleniyor $[|\mathbf{\hat{x}}|,|\mathbf{\hat{p}}|]$, Şimdi basitlik için "şapkaları" çıkaracağım ve gösterimi kullanacağım $\mathbf{x}=(x,y,z)$ ve $\mathbf{p}=(p_x,p_y,p_z)$sırasıyla pozisyon ve momentum operatörleri için. Yaklaşımım | \ mathbf {x} | yazmaktır. ve | \ mathbf {p} | güç serisi olarak:

\ başlar {denklem} | \ mathbf {x} | = \ sum_ {abc} A_ {abc} x ^ ay ^ bz ^ c \ quad \ text {ve} \ quad | \ mathbf {p} | = \ sum_ {uvw} B_ {uvw} p_x ^ u p_y ^ v p_z ^ w. \ end {equation}

Sonra

\ begin {denklem} [| \ mathbf {x} |, | \ mathbf {p} |] = \ sum_ {abc} \ sum_ {uvw} A_ {abc} B_ {uvw} (x ^ ay ^ bz ^ c p_x ^ u p_y ^ v p_z ^ w - p_x ^ u p_y ^ v p_z ^ wx ^ ay ^ bz ^ c). \ end {equation}

Son terim şu şekilde yeniden biçimlendirilebilir:

\ başlangıç {denklem} p_x ^ u p_y ^ v p_z ^ wx ^ ay ^ bz ^ c = (p_x ^ ux ^ a) (p_y ^ vy ^ b) (p_z ^ wz ^ c) = (e ^ {- i \ hbar \ kısmi_x \ kısmi_ {p_x}} x ^ a p_x ^ u) (e ^ {- i \ hbar \ kısmi_y \ kısmi_ {p_y}} y ^ b p_y ^ v) (e ^ {- i \ hbar \ kısmi_z \ kısmi_ {p_z}} z ^ c p_z ^ w) = e ^ {- i \ hbar (\ bölüm_x \ bölüm_ {p_x} + \ bölüm_y \ bölüm_ {p_y} + \ bölüm_z \ bölüm_ {p_z})} x ^ a p_x ^ uy ^ b p_y ^ vz ^ c p_z ^ w = e ^ {- i \ hbar \ parsiyel_ \ mathbf {x} \ cdot \ parsiyel_ \ mathbf {p}} x ^ a p_x ^ uy ^ b p_y ^ vz ^ c p_z ^ w, \ end {denklem}

nerede

\ begin {denklem} \ kısmi_ \ mathbf {x} \ cdot \ kısmi_ \ mathbf {p} \ equiv \ sum_i \ frac {\ kısmi} {\ kısmi x_i} \ frac {\ kısmi} {\ kısmi p_i}. \ end {equation}

En sonunda,

\ begin {denklem} [| \ mathbf {x} |, | \ mathbf {p} |] = \ sum_ {abc} \ sum_ {uvw} A_ {abc} B_ {uvw} (1-e ^ {- i \ hbar \ parsiyel_ \ mathbf {x} \ cdot \ parsiyel_ \ mathbf {p}}) x ^ ay ^ bz ^ c p_x ^ u p_y ^ v p_z ^ w = (1-e ^ {- i \ hbar \ parsiyel_ \ mathbf {x} \ cdot \ kısmi_ \ mathbf {p}}) | \ mathbf {x} | | \ mathbf {p} | \ end {equation}

veya açıkça

\ başlangıç {denklem} [| \ mathbf {x} |, | \ mathbf {p} |] = - \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {(- i \ hbar) ^ n} {n!} (\ kısmi_ \ mathbf {x} \ cdot \ kısmi_ \ mathbf {p}) ^ n | \ mathbf {x} | | \ mathbf {p} |. \ end {equation}

Birkaç açıklama:

Bu denklemin tek boyutlu versiyonu, bu cevabın başında verilen beklenen ifadeyi kurtarır.
Rhs, lhs dikkate alındığında beklendiği gibi rotasyonel olarak değişmezdir.

Umutlar:

Belki yukarıdaki sonuç için güzel, kapalı bir form yazarak elde edilebilir $\partial_\mathbf{x} \cdot \partial_\mathbf{p}$ küresel kutupsal koordinatlarda?
Bu türetme, herhangi bir değişiklik yapılmadan çalışıyor gibi görünüyor. $[|\mathbf{x}|^n,|\mathbf{p}|^m]$. Son söz başarıyla karşılanırsa, önerilen yanıtın kolayca hesaplanabilen bazı komütatörleri kurtarıp kurtarmadığını kontrol edebiliriz - örneğin ,$n=m=2$.

Bu olasılıkları araştırıyorum ve bu yanıtı buna göre değiştireceğim.

andrehgomes Oct 19 2020 at 19:40

Burada operatörleri tanımlarken ilgili olabilecek teknik sorunları gözden kaçıracağım $|\mathbf{x}|$ ve $|\mathbf{p}|$ ve için resmi bir ifadeye doğru ilerleyin $[|\mathbf{x}|,|\mathbf{p}|]$. Basit olması için operatörlerin üstündeki "şapkayı" atlayacağım.

Simetrik radyal momentum operatörünü tanımlamaya başlıyorum,

$$p_r \equiv \frac{1}{2}\left( \frac{\mathbf{x}}{|\mathbf{x}|} \cdot \mathbf{p} + \mathbf{p} \cdot \frac{\mathbf{x}}{|\mathbf{x}|} \right).$$

Bu operatör, Alvarez & González, Am. J. Phys. 57 , 923 (1989) ve Liboff, Nebenzahl & Fleischmann, Am. J. Phys. 41 , 976 (1973) ama bunun QM ders kitaplarında standart içerik olduğunu öğrendim. Konum alanı temsilinde$\mathbf{p}=-i\hbar\mathbf{\nabla}$ ve küresel koordinatlar, basit hesaplama ortaya koyuyor

$$p_r = -i\hbar \left(\frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r} \right),$$ nerede $r\equiv|\mathbf{x}|$. Bu son formda, aşağıdaki sonuç kolayca doğrulanır:

$$[|\mathbf{x}|,p_r]=i\hbar.$$

İlişkiden $[A,f(B)]=[A,B]\frac{\partial f}{\partial B}$ geçerli ise $[A,[A,B]]=0$ sonlandırıyoruz

$$[|\mathbf{x}|,f(p_r)]=i\hbar \frac{\partial f}{\partial p_r}.$$

Şimdi ayarladım $f(p_r) = |\mathbf{p}| = \sqrt{p_r^2 + \frac{L^2}{r^2}}$son eşitliğin bölünmesinden gelen $|\mathbf{p}|$ radyal ve açısal parçalara ve $L$açısal momentum. Önceki komütatörden

$$[|\mathbf{x}|,|\mathbf{p}|]=i\hbar \frac{1}{|\mathbf{p}|}\left[p_r + \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial p_r}\left(\frac{L^2}{r^2}\right) \right] = i\hbar \frac{p_r}{|\mathbf{p}|}.$$

Son türev, gördüğüm kadarıyla kayboldu çünkü $L^2$ sadece köşeli parçalardan oluşur $|\mathbf{p}|$ ama radyal parça yok ve çünkü $\partial/\partial p_r$ üzerinde hareket etmez $r$ uygulamayı kontrol edebileceğimiz gibi $[|\mathbf{x}|,p_r]=i\hbar$. Son olarak, tanımıyla$p_r$ yukarıda anlıyoruz

$$\boxed{ [|\mathbf{x}|,|\mathbf{p}|] = \frac{i\hbar}{2}\frac{1}{|\mathbf{p}|} \left( \frac{\mathbf{x}}{|\mathbf{x}|} \cdot \mathbf{p} + \mathbf{p} \cdot \frac{\mathbf{x}}{|\mathbf{x}|} \right) = i\hbar \left( \frac{\mathbf{p}}{|\mathbf{p}|} \cdot \frac{\mathbf{x}}{|\mathbf{x}|} + \frac{i\hbar}{|\mathbf{p}| |\mathbf{x}|} \right). }$$