Kumar Sorusu
Alıştırma 4.21: Bir oyunda $ \ frac {1} {20} $ olasılıkla 10 $ kazanırsınız ve \ $ 1 olasılıkla kaybedersiniz$\frac{19}{20}$. İlk 200 oyundan sonra 100 dolardan daha az kaybetme olasılığınızı yaklaşık olarak belirtin. 300 maçtan sonra bu olasılık nasıl değişecek?
Deneme :
İlk olarak, kazançları ve kayıpları tek bir değişken içinde birlikte gösteriyoruz. Define (n - - S_n) \ {denklem *} W_n = 10S_n başlayacak \ end {denklem *} nerede $ W_n $ sonra kazancı belirtir $ n $ oyunları ve $ S_n $ galibiyet sayısını tanımlar $ n $ oyunlar. Bu nedenle, \ begin {denklem *} P (W_n \ geq 100) = P (11S_n - n> -100) = P \ biggr (S_n> \ frac {n - 100} {11} \ biggr). \ end {equation *} Şimdi, her iki durumda da Merkezi Limit Teoremini farklı $ n $ değerleriyle uyguluyoruz .
Let $ n = 200 $ , daha sonra $ S_n \ sim Kutusu (200, \ frac {1} {20}) $ . Bu yüzden $ S_n> \ frac {100} {11} $ diliyoruz . Dahası, $ E [S_n] = 200 \ cdot \ frac {1} {20} = 10 $ ve Var $ (S_n) = 200 \ cdot \ frac {1} {20} \ cdot \ frac {19} {20} = \ frac {19} {2}. $ Böylece, CLT'den süreklilik düzeltmesiyle birlikte \ begin {equation *} P \ biggr (\ frac {\ frac {100} {11} - 10} {\ sqrt { \ frac {19} {2}}} <\ frac {S_n - 10} {\ sqrt {\ frac {19} {2}}} \ biggr) \ yaklaşık 1 - \ Phi (-0.457169) \ yaklaşık 0.6772. \ end {denklem *}
Şimdi kitap, 0.5636 olan 200 oyunluk ilk durum için farklı bir cevap veriyor. Bir sonraki vakaya geçmeden önce hatamı anlamak isterim
Sezgisel olarak bu, $ S_n> \ frac {100} {11} $ koşulunun normal dağılımın çan eğrisinin üstüne yakın olması gerektiği için mantıklıdır , çünkü beklenen 10 değeri $ \ frac {100} 'e yakın {11} $ . Ancak hayatım boyunca hesaplamamdaki hatayı göremiyorum.
(Bu sorular için diğer Math Stack Exchange sorusu benim için esasen hiçbir şeyi netleştirmedi, dolayısıyla bu yazı.)
Bir şans oyununda 100 dolardan daha azını kaybetmek.
Yanıtlar
Eğer $X$ rastgele galibiyet sayısı $n$ oyunlar, sonra $$X \sim \operatorname{Binomial}(n = 200, p = 0.05)$$ ve net kazanç / kayıp rastgele değişkeni $$W = 10X - (n-X) = 11X - n.$$ Böylece $$\Pr[W > -100] = \Pr[11X - 200 > -100] = \Pr[X \ge 10].$$ Bu son ifade, $X$kesirli değerler alamaz. Sonuç olarak,$$\Pr[X \ge 10] = 1 - \sum_{x=0}^{9} \binom{200}{x} (0.05)^x (0.95)^{200-x} \approx 0.54529\ldots.$$ Bu kesin olasılıktır: Buradaki tek yaklaşım, kesirin ondalık sayıya yuvarlanmasıdır.
Bu aynı zamanda cevabınızın neden yanlış olduğuna dair önemli bir fikir verir: sırf devamlılık düzeltmeli normal bir kestirim kullanıyor olmanız, bunun sonuçları anlamına gelmez. $W$ dahil etmek istediğiniz olasılığa dahil etmek istediğiniz örneklem alanı dışında olabilir $W$.
Örneğin, eğer $U \sim \operatorname{Binomial}(n = 500, p = 0.5)$ve senden rica ediyorum $\Pr[U < 225.999]$önce yazmalısın $\Pr[U < 225.999] = \Pr[U \le 225]$, ardından yaklaşık olarak süreklilik düzeltmesi uygularsınız.$$\Pr\left[Z \le \frac{225.5 - 250}{5 \sqrt{5}}\right].$$Aynısı burada da geçerlidir; Böylece$$\Pr[W > -100] = \Pr[X \ge 10] \approx \Pr\left[\frac{X - 10}{\sqrt{9.5}} \ge \frac{9.5 - 10}{\sqrt{9.5}}\right] \approx \Pr[Z \ge -0.162221] \approx 0.564434.$$ Anlaşılan, metniniz hesaplamayı tamamlamadan önce yuvarlanıyor veya enterpolasyon olmadan standart bir normal tablo araması kullanıyor, çünkü $\Pr[Z \ge -0.16] \approx 0.563559$. Her durumda, yaklaşım$$\Pr[Z \ge -0.457169] \approx 0.676225$$ çok fazla sapıyor.