MacLaurin Serisi $\tan(x)$

Question

MacLaurin serisini hesaplamaya çalışıyorum $\tan(x)$. Bunun olduğunu biliyorum$$\tan x=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}$$Ve bu formülü nasıl elde edeceğimi biliyorum. Aslında basitçe ifade ediyorum$\tan$ doğrusal bir kombinasyon olarak $\cot(x)$ ve $\cot(2x)$açık formülünü bildiğimiz $$\cot(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}$$ Bu formül yazarak elde edilmiştir $\cot$ üstel formunda ve biraz cebir yapıyor.

Bu formülleri nasıl elde edeceğimi biliyorum ama onu MacLaurin serisi yapan şeyin ne olduğunu anlamıyorum. $\tan(x)$. Neden başka bir yere odaklanmış herhangi bir Taylor serisi olmasın? Ve onları Taylor serisi yapan şey, onu sadece bir güç serisi olarak görüyorum ...

Cevaplarınız ve yardımınız için teşekkür ederiz!

Answer 1

Çünkü bir işlevimiz varsa $f\colon(a-r,a+r)\longrightarrow\Bbb R$ ve bir güç serisi$$\sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n\tag1$$merkezli $a$ öyle ki$$\bigl(\forall x\in(a-r,a+r)\bigr):f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n,$$sonra otomatik olarak $f$ bir $C^\infty$ işlev ve Taylor serisi $a$ dır-dir $(1)$.

Örneğin,$$|x|<1\implies\frac1{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n$$ve bu nedenle Taylor serisi $\frac1{1-x}$ merkezli $0$ dır-dir $\sum_{n=0}^\infty x^n$.