Metrik uzay üzerine bir soru $\mathbb{Q}$.
Düşünmek $\mathbb{Q}$tüm rasyonel sayıların kümesi olun. Tanımlı$d(p,q)=|p-q| $. O halde aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
$\{q \in \mathbb{Q} : 2<q^2<3\}$ kapalı.
$\{q \in \mathbb{Q} : 2 \leq q^2 \leq 4\}$ kapalı.
$\{q \in \mathbb{Q} : 2 \leq q^2 \leq 4\}$ kompakttır.
$\{q \in \mathbb{Q} : q^2 \geq 1\}$ kompakttır.
Ben de bunu düşünüyordum, burada 4. seçenek doğru değil çünkü bu sınırlı değil. Öyleyse, sınırsızlıktan kompakt değil. Yani burada 4'teki kümeyi gösterebilirsek, sanırım 1'in tamamlayıcısı olduğu için kapalı değil.$\mathbb{Q}$ biraz açık set $\mathbb{R}$.
Diğer ifade için "Bir metrik uzay, tam ve tamamen sınırlıysa kompakttır" şeklindeki genel kriterleri kullanabiliriz. Ama bunu yapmak için biraz yardıma ihtiyacım var.
Yanıtlar
1. olarak yazabiliriz $\left((\sqrt{2}, \sqrt{3}) \cup (-\sqrt{3}, -\sqrt{2})\right) \cap \mathbb{Q}$ gerçek açık bir küme olan (açık aralıklar açık) ile kesişen $\Bbb Q$, böylece bu set açık $\Bbb Q$. Ayrıca kapalı$\Bbb Q$ çünkü biz de yazabiliriz $\left([\sqrt{2}, \sqrt{3}] \cup [-\sqrt{3}, -\sqrt{2}]\right) \cap \mathbb{Q}$, benzer nedenlerle kapalıdır.
2 olarak yazabildiğimiz için kapalı $\left([\sqrt{2}, 2] \cup [-2, -\sqrt{2}]\right) \cap \mathbb{Q}$ ve onun unsuru olarak $2$onun iç noktası değil, açık değil .
3'ün altındaki küme, 2'nin altındaki küme ile aynıdır, bu yüzden gördüğümüz gibi gerçekten kapalıdır, bu nedenle de sınırlı olduğu için kompakt olabilir . Ama aslında mantıksız olanı seçebildiğimiz için değil$p$ setin "içinde" (söyle $\sqrt{3}$ yapacak) ve bir dizi rasyonel bul $q_n$ sette yakınsayan $p$ gerçeklerde (bu her zaman yapılabilir). Ama sonra sıra$(q_n)_n$ Cauchy'dir (sonuçta gerçeklerde yakınsaktır) ancak yakınsak değildir $\Bbb Q$( yakınsak olabileceği tek nokta sette yatmıyor). Yani set kompakt değil. Kompakt olmamasının (muhtemelen henüz ele almadığınız) daha derin bir nedeni, bir metrik uzayda kompakt bir sayılabilir kümenin yalıtılmış bir noktaya sahip olması gerektiğidir ve bu kümede hiç yoktur. Ancak tam olmama (veya yakınsak alt dizisiz bir diziye sahip olmamızla ilgili gerçeği), daha basit bir düzeyde kompaktlığı çürütmek için kullanılabilir.
4 için, tüm metrik uzaylarda şunu biliyoruz "$A$ kompakt $\implies$ $A$kapalı ve sınırlı; Heine-Borel, alt kümelerinde tutan ters çıkarımdır$\Bbb R^n$Öklid metriğinde. Bunun "gücü", kompaktlığı hızlı bir şekilde kanıtlamaktır . Ancak her zaman geçerli sonuç, kompaktlığı kolayca çürütmek için kullanılabilir ve 4 bir örnektir: sınırlı değildir, dolayısıyla kompakt olmayan, herhangi bir metrik uzayda geçerli bir kesintidir.
Bir set $A$ bir metrik uzayda, her sıra için kompakttır $A$ sınırı olan yakınsak alt diziye sahiptir $A$. Sekans$\{1,2,3,..\}$ belirli bir kümede yakınsak alt diziye sahip olmayan bir dizidir, bu nedenle 4) 'deki küme kompakt değildir.
Alternativey şu gerçeği kullanabilirsiniz: $\{q \in \mathbb Q: -n <q <n\}, n=1,2...$ setin sonlu alt kapağı olmayan açık bir kapağıdır.