neden $E = X \setminus \{ x: \chi_E (x) < \frac{1}{2} \}?$

Question

Aşağıdaki ispatta, buradaki son satırda bir karışıklık var.

Bir kümenin karakteristik fonksiyonunun $E$ ölçülebilir $\iff$E ölçülebilir.
İspat: Varsayalım ki$E$ ölçü uzayında ölçülebilir bir kümedir $X$. Eğer$\alpha \le 0$, sonra $\{x:\chi_E(x)<\alpha\}=\phi$ölçülebilir bir set. Eğer$\alpha>1$, sonra $\{x:\chi_E(x)>\alpha\}=X$ölçülebilir bir set. Son olarak, eğer$0< \alpha \le 1$, sonra $\{x:\chi_E(X)<\alpha\}=X\backslash E$ölçülebilir bir set. Şu sonuca varıyoruz ki$\chi_E$ölçülebilir bir fonksiyondur.
Farz et ki$\chi_E$ölçülebilir bir fonksiyondur. Sonra$\textbf{$E = X \ ters eğik çizgi \ {x: \ chi_E (x) <1/2 \}$}$ ölçülebilir bir kümedir.

Benim girişimim : İşte verilmiş$\{ x: \chi_E (x) < \alpha \} = X \setminus E$ nerede $0 <\alpha \le 1$

Benim düşünceme göre $\{ x: \chi_E (x) < \alpha \} = E$ nerede $0 \le \alpha < 1$

Anlamıyorum neden $E = X \setminus \{ x: \chi_E (x) < \frac{1}{2} \}?$

Answer 1

$\chi_E(x) \ge 1/2$demek istediğim $\chi_E(x) \ge 1/2$yani $\chi_E(x) =1$ ve $x \in E$.

Tersine eğer $x \in E$ sonra $\chi_E(x)=1$, $\chi_E(x) \ge 1/2$ ve $\chi_E(x) \ge 1/2$.

Karakteristik haritanın yalnızca $0$ veya $1$ değerler için.

Answer 2

$\chi_E$ sadece iki değer alır $0$ ve $1$. Yani$\chi_E(x) \geq \frac 1 2$ iff $\chi_E(x)=1$ iff $x \in E$. Böylece$x \in E$ eğer doğru değilse $\chi_E(x) <\frac 1 2 $.