Neden $\mathbb{E}[X\mid \sigma(\mathcal{H},\mathcal{E})]=\mathbb{E}[X\mid \mathcal{H}]$?

Question

Benim sorunum:

Varsayalım $\mathcal{E}$ ve $\mathcal{H}$ alt-$\sigma$-algebralar $\sigma$-cebir $\mathcal{F}$. İzin Vermek$X \in L^1(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ ve $\sigma(X)=\{X^{-1}(A): A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \}$. Farz et ki$\mathcal{E}$ bağımsızdır $\sigma(\mathcal{H},\sigma(X))$.

Sonra $$\mathbb{E}[X\mid \sigma(\mathcal{H},\mathcal{E})]=\mathbb{E}[X\mid \mathcal{H}]$$

Benim girişimim:

Karakterizasyonu kullanmayı denedim $\mathbb{E}[XZ]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[X\mid \mathcal{H}]Z]$ hepsi için $\mathcal{H}$ölçülebilir ve sınırlı rasgele değişken veya $\mathbb{E}[XZ]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[X\mid \sigma(\mathcal{H},\sigma(X))]Z]$ hepsi için $\sigma(\mathcal{H},\sigma(X))$ölçülebilir ve sınırlı rasgele değişken.

Answer 1

Bu Doob tarafından bilinen ell bir sonuçtur.

Teorem: Let$\mathscr{A}$, $\mathscr{B}$ ve $\mathscr{C}$ alt olmak$\sigma$- cebirleri $\mathscr{F}$. $\mathscr{A}\perp_\mathscr{C} \mathscr{B}$ iff $$ \begin{align} \Pr[A|\sigma(\mathscr{C},\mathscr{B})]=\Pr[A|\mathscr{C}]\tag{1}\label{doob-independence} \end{align} $$ hepsi için $A\in \mathscr{A}$.

İşte bir atış kanıtı:

Farz et ki $\mathscr{A}$ ve $\mathscr{B}$ koşullu bağımsız verilir $\mathscr{C}$, yani $$ \Pr[A\cap B|\mathscr{C}]=\Pr[A|\mathscr{C}] \Pr[B|\mathscr{C}] $$ hepsi için $A\in \mathscr{A}$ ve $B\in \mathscr{B}$. Sonra herhangi biri için$A\in\mathscr{A}$, $\mathscr{B}$ ve $C\in\mathscr{C}$ sahibiz $$ \begin{align} \Pr\big[A\cap\big(C\cap B)\big]&=\Pr\big[ \mathbb{1}_C\Pr[A\cap B|\mathscr{C}]\big]= \Pr\big[\mathbb{1}_C\Pr[A|\mathscr{C}]\Pr[B|\mathscr{C}]\big]\\ &= \Pr\big[\Pr[A|\mathscr{C}]\Pr[B\cap C|\mathscr{C}]\big]= \Pr\Big[\Pr\big[\Pr[A|\mathscr{C}]\mathbb{1}_{B\cap C}\big|\mathscr{C}\big]\Big]\\ &= \Pr\big[\Pr[A|\mathscr{C}]\mathbb{1}_{B\cap C}\big] \end{align} $$ Dan beri $\sigma(\mathscr{B},\mathscr{C})=\sigma\Big(\{B\cap C: B\in\mathscr{B}, C\in\mathscr{C}\}\Big)$monoton bir sınıf argümanı şunu gösterir: $$ \begin{align} \Pr[A\cap H]=\Pr\big[\Pr[A|\mathscr{C}]\mathbb{1}_H \big] \end{align} $$ hepsi için $H\in\sigma(\mathscr{B},\mathscr{C})$. Bu şu demek$$ \Pr[A|\sigma(\mathscr{B},\mathscr{C})]=\Pr[A|\mathscr{C}] $$

Tersine, varsayalım ki $\eqref{doob-independence}$tutar. Herhangi$A\in\mathscr{A}$ ve $B\in\mathscr{B}$ sahibiz \begin{align*} \Pr[A\cap B|\mathscr{C}]=\Pr\Big[\mathbb{1}_{B}\Pr[A|\sigma(\mathscr{B},\mathscr{C})]\Big| \mathscr{C}\Big]= \Pr\Big[\mathbb{1}_B\Pr[A|\mathscr{C}]\Big|\mathscr{C}\Big] =\Pr[A|\mathscr{C}]\Pr[B|\mathscr{C}] \end{align*} Bu gösteriyor ki $\mathscr{A}$ ve $\mathscr{B}$ bağımsız verilir $\mathscr{C}$.

Rastgele değişkenlere genişletme, önce basit fonksiyonlara genişletilerek ve daha sonra basit fonksiyonlarla olağan monoton yaklaşımla yapılır.