Quadrics ve Springer teoremi

Question

İzin Vermek $F$ değerleme halkasına sahip, tamamen ayrı değerli bir alan olmak $R$, tek tipleştirici $\pi$ve kalıntı özelliği $\neq 2$. Springer'in bir teoremi, ikinci dereceden bir form olduğunu söyler.$q=q_1 \bot \pi q_2$, nerede $q_1,q_2$ katsayıları var $R^\times$izotropik bitti $F$ ancak ve ancak en az bir görüntü $q_1,q_2$ kalıntı alanı üzerinde izotropiktir $R/\pi$.

Şunları bilmekle ilgileniyorum:

1. Benzer bir sonuç, kuadriklerden başka çeşitler için de geçerlidir (bu biraz belirsizdir, ancak akla gelen herhangi bir şey yararlı olabilir),

2. ikili durumda ikinci dereceden formlar için uzaktan benzer herhangi bir şey söylenebilir mi (yani $R/\pi=2$)?

(Not: Önce mathoverflow ile ilgili soruyu sordum, ancak bir yanıt alamadım. Bu gönderi şimdi silindi.)

Answer 1

2. çeyrekte cevap evet. "İkinci dereceden formların cebirsel ve geometrik teorisi", Elman, Karpenko, Merkurjev, AMS Coll. Yay. 56,2008.

S1 için: Aşağıdaki gerçeği genelleyebilirsiniz: $q_1,q_2$ anistropik modulolar $\pi$, sonra $q$ homojen derece formlarına anizotropiktir $d$.

Eksik olan şudur: homojen bir form ise $f$ (benim için net olmayan uygun dejenerelik kavramı ile) derece $d\geq 2$ önemsiz sıfırları yoktur, o zaman önemsiz sıfırları yoktur modülo $\pi$.

Makul derecede doğru olup olmadığını bilmiyorum (öyle olmadığından şüpheleniyorum).