Rakamlarla kanun ihlali

Question

Özel Ajan Benford, üçüncü bir çözülmemiş yanlış yaratıcı muhasebe vakası tarafından engellendi ve gönüllü olarak Dolandırıcı Numaralar Görev Gücü'nden emekli olacak. Benford'un sahte defterleri yalnızca sayısal girişlerin ilk rakamlarını sayarak tespit etme yeteneği o kadar ünlüdür ki, bir yasa en büyük kahramanımızın adını taşır.

Benford Yasası : Dürüst bir muhasebe sayfasında, tüm sayısal girişlerin neredeyse 1⁄3'ünün ilk basamağı '1' olmalıdır, '2'den veya başka herhangi bir rakamdan çok daha sıktır. Her bir rakamın ilk hane olma sayısı, azalan bir modele uyar; burada '9', en az sayının ilk hanesidir.

Vicdansız muhasebeciler çoğunlukla ondalık sayılarla hokkabazlık yaptığından, bu metodoloji Benford'a onlarca yıllık hizmet boyunca iyi hizmet etti . Ancak yıllar içinde, diğer numaralandırma sistemlerini içerdikleri için iki vaka izlenemedi. Tüm pozitif tam sayılar şüphelidir.

1. Çözülmemiş Birinci Durum. Bilinen en eski numaralandırma sistemini tanıyan Benford, ilk rakamlarının mahkumiyete yol açmayacağını biliyordu.

2. Çözülmemiş İkinci Durum. Benford, bu numaralandırma sistemini hemen hemen tüm modern bilgisayarlar tarafından kullanılan bir sistem olarak kabul etti ve yine ilk rakamlarının ipucu içermediğini kabul etmek zorunda kaldı.

Sonunda, ne yazık ki, son dava geldi.

1. Çözülmemiş Üçüncü Durum. Benford bu numaralandırma sistemiyle daha önce hiç karşılaşmamıştı, ancak girişlerin onların da "Kanun" a meydan okuyacaklarının farkına vardılar. Vazgeçmeden önce Benford, aynı sapkın numaralandırma sisteminin yüzyıllardır akademik çevrelerde nadiren de olsa görüldüğünü ve aslında akıllıca verimli bazı dijital bilgisayarların temeli olduğunu öğrendi.

Durum Bir, İki ve Üçün numaralandırma sistemleri nelerdir ve neden bu kadar Kanunsuz?

Ödül mücadelesi: Bu durumlardan hangisinde Benford'un yerini alan Özel Ajan Halefi, girişlerin ikinci basamaklarını sayarak daha başarılı olabilir? Beklenen sayı frekansları ne olurdu?

_{(Hiçbir kötü kelime oyunu söz konusu değil.)}

Answer 1

Cevabın aşağıdaki gibi olduğunu düşünüyorum.

Birinci Durum:

Tekli , aynı zamanda tally aritmetiği olarak da bilinir. Her sayı bir dizi sembolle verilir (tipik olarak rakama benzer dikey eğik çizgi işaretleri), bu nedenle ilk "rakam" her zaman aynıdır. Bu, elbette en eski sayma yöntemidir.

İkinci Durum:

İkili . Yine, her sayının ilk basamağı 1'dir, bu nedenle Benford yasası yardımcı olamaz. İkili, çoğu modern bilgisayar mimarisinin temelidir.

Üçüncü Durum:

Dengeli üçlü . Dengeli üçlüde, basamaklar 1, 0 ve -1'dir ve her pozitif sayının ilk basamağı her zaman 1'dir. Dengeli üçlü sayının belirli matematiksel işlemleri daha verimli hale getirmesinin birkaç teorik nedeni vardır ve görünüşe göre bazıları için temel olarak kullanılmıştır. Geçmişte Sovyet bilgisayarları.

Bonus:

İkinci basamağa bakmak, ikili ve dengeli üçlü durumlarda bazı istatistiksel önyargı sağlayacaktır, ancak tekli durumda değil. İkili durum için, Wikipedia'da sağlanan dağılımın basit bir genellemesini kullanarak , ikinci rakamın 0 olma olasılığı$\log_2(3) -\log_2(2)$bu yaklaşık% 58,5'tir.

Dengeli üçlü için, ikinci basamağın dağılımı, üçlü ile benzer olması gerektiği gibi görünür, ancak ince bir şekilde farklıdır. Bunu başarmak için, dengeli üçlü dağılımı normal üçlü dağılımla ilişkilendireceğiz. Normal üçlü dağılımda, bir sayının başlama olasılığı$n$ (bir rakam dizisi olarak) $\log_3(n+1) - \log_3(n)$.

Sunum kolaylığı için, 3'ten az dengeli üç basamaklı sayıları göz ardı edebiliriz, çünkü tamsayıların sonsuzluğuna baktığımızda ortadan kaybolan, aşağıda belirlediğimiz kurallarda sınırlı sayıda istisna olacaktır. Ayrıca sembolleri kullanacağız$+$, $\cdot$ ve $-$ dengeli üçlü rakamlarımız için.

Önce ikinci rakamın olduğu duruma bakalım $-$. Üçlü sayıya dönüştürme, elimizde$[+ - - , + - +] \equiv [12,21]$, $[+ - - -, + - + +] \equiv [112,211]$, $[+ - - - -, + - + + +] \equiv [1112,2111]$, ve benzeri. Böylece, dengeli bir üçlü sayının ikinci basamağı$-$ ancak ve ancak karşılık gelen üçlü sayı ile başlıyorsa $12$, $112$, $1112$, $\ldots$; $20$; veya$21$ile başlayanlar hariç $212$, $2112$, $21112$, $\ldots$. Bunun gerçekleşme olasılığını elde etmek için, normal üçlü aralıklardaki Benford dağılımından ilişkili tüm olasılıkları topladık. Magma Hesaplayıcıyı kullanarak yaklaşık% 46,5 olasılık elde ederiz.

Şimdi ikinci rakamın olduğu durumu düşünün $\cdot$. Yukarıdaki gibi, bu koşulu karşılayan dengeli üçlü sayılar için, eşdeğer üçlü sayılar,$[ + \cdot - , + \cdot + ] \equiv [22 , 101]$ , $[ + \cdot - -, + \cdot + +] \equiv [212 , 1011]$, $[ + \cdot - - -, + \cdot + + +] \equiv [2112 , 10111]$, vb. Daha önce olduğu gibi, dengeli bir üçlü sayının ikinci basamak $\cdot$ karşılık gelen üçlü sayı ile başladığında $212$, $2112$, $21112$, $\ldots$; $22$; veya$10$ile başlayanlar hariç $102$, $1012$, $10112$, $\ldots$. Bu, yaklaşık% 30.63'lük bir olasılık verir.

İkinci basamak için $+$, sadece önceki sonuçları toplayıp 1'den çıkarabilirdik, ama bir kontrol olarak da aynı şekilde hesaplayalım. Yukarıdaki gibi bizde$[ + + - , + + + ] \equiv [102 , 111]$ , $[ + + - -, + + + +] \equiv [1012 , 1111]$, $[ + + - - -, + + + + +] \equiv [10112 , 11111]$. Böylece, ikinci dengeli üçlü rakam$+$ karşılık gelen üçlü sayı ile başladığında $102$, $1012$, $10112$, $\ldots$; veya$11$ile başlayanlar hariç $112$, $1112$, $11112$, $\ldots$. Yukarıdaki gibi, bu olasılığın toplamı% 22,87'dir.

Karşılaştırma için, normal üçlüdeki ikinci basamak olasılıkları% 40.22,% 32.47 ve% 27.32'dir. $0$, $1$ ve $2$, sırasıyla.