Sol Hilbert cebiriyle ilgili bir problem.

Question

Strătilă ve Zsidó tarafından yazılan 'von Neumann Algebras Üzerine Dersler' kitabındaki Bölüm 10.1'den geçerken aşağıdaki soruna takılı kaldım.

İzin Vermek $\mathfrak{A}$ aynı zamanda skaler bir çarpıma sahip olan, evrimi olan karmaşık bir cebir olmak $\langle\cdot | \cdot\rangle$. İle belirtiyoruz$\xi\mapsto\xi^{\text{#}}$ içindeki devrim $\mathfrak{A}$ ve tarafından $\mathscr{H}$ Hilbert uzayının tamamlanmasıyla elde edilen $\mathfrak{A}$. İle belirtiyoruz$\mathfrak{A}^2$ formun öğeleri tarafından oluşturulan vektör uzayı $\xi\eta,\,\xi,\,\eta\in\mathfrak{A}$. Biri diyor ki$\mathfrak{A}$ sol Hilbert cebiridir eğer

1. $\mathfrak{A}\ni\eta\mapsto\xi\eta\in\mathfrak{A}$ herhangi biri için süreklidir $\xi\in\mathfrak{A}$.
2. $\langle\xi\eta_1|\eta_2\rangle=\langle\eta_1|\xi^{\text{#}}\eta_2\rangle$ herhangi $\xi,\,\eta_1,\,\eta_2\in\mathfrak{A}$.
3. $\mathfrak{A}^2$ yoğun $\mathfrak{A}$.
4. $\mathscr{H}\supseteq\mathfrak{A}\ni\xi\mapsto\xi^{\text{#}}\in\mathscr{H}$ önceden kapatılmış bir doğrusal karşıtı işleçtir.

Uyarınca $1$, herhangi $\xi\in\mathfrak{A}$, bir tanım $L_{\xi}\in\mathscr{B}(\mathscr{H})$ formülle $L_{\xi}(\eta)=\xi\eta,\,\eta\in\mathfrak{A}$.

Sorun: Bunu kanıtlayın$I\in\overline{\{L_{\xi}:\xi\in\mathfrak{A}\}}^{so}$, nerede $I$ kimlik haritası üzerinde $\mathscr{H}$ tarafından tanımlandı $I(\eta)=\eta,\,\eta\in\mathfrak{A}$.

Yazarlar mülkiyetten takip ettiğini söylüyor $3$ama bunu nasıl tartışacağımı anlayamıyorum. Herhangi bir yardım için şimdiden teşekkürler.

Answer 1

Gösterelim $\mathscr{A}=\{L_{\xi}:\xi\in\mathfrak{A}\}$. Düzelt$\eta\in\mathscr{H}$ ve izin ver $\Large\chi$$= \ overline {\ mathscr {A} \ eta} $ . Sonra $ \ Large \ chi $ ve $ \ Large \ chi olarak$$^{\perp}$ her ikisi de değişmez $\mathscr{A}$, dolayısıyla ortogonal projeksiyon $P_{\Large\chi}$ alt uzayda $\Large\chi$ içinde $\mathscr{A}'$. Bunu göstermek istiyoruz$\eta\in\Large\chi$. Şimdi herkes için$\xi\in\mathfrak{A}$, \ begin {denklem *} \ begin {split} L _ {\ xi} \ big (I-P _ {\ Large \ chi} \ big) \ eta = \ big (I-P _ {\ Large \ chi} \ big) L _ {\ xi} (\ eta) = 0, \\ \ text {ie} {L _ {\ xi}} ^ * \ big (I-P _ {\ large \ chi} \ big) \ eta = L _ {\ xi ^ {\ text {#}}} \ big (I-P _ {\ Large \ chi} \ big) \ eta = 0, \\ \ text {ie} \ langle \ zeta, {L _ {\ xi}} ^ * \ big (I-P _ {\ Large \ chi} \ big) \ eta \ rangle = 0 \ text {tümü için} \ zeta \ in \ mathscr {H}, \\ \ text {ie} \ langle L _ {\ xi } (\ zeta), \ big (I-P _ {\ Large \ chi} \ big) \ eta \ rangle = 0 \ text {tümü için} \ zeta \ in \ mathscr {H}. \ end {bölme} \ end {denklem *} Ancak$\mathfrak{A}^2\subseteq \{L_{\xi}(\zeta):\xi\in\mathfrak{A},\zeta\in\mathscr{H}\}$ yoğun $\mathfrak{A}$bu nedenle yoğun $\mathscr{H}$. Bu nedenle$\big(I-P_{\Large\chi}\big)\eta=0$yani $\eta\in\Large\chi$.