Sonluluk $\pi_n(Top/O)$

Question

İçin $n>4$ tanımlanabilir $\pi_n(Top/O)$ pürüzsüz yapıların uyum sınıfı olarak yumuşatma teorisi aracılığıyla $S^n$Ürüne bir aralıkla pürüzsüz bir yapı bağladıkları takdirde iki yapı uyumludur. Bu homotopi gruplarının sonlu olduğunu iddia ettiğini gördüm, örneğin, iddia edildiğinde$BO \rightarrow BTop$ rasyonel bir denkliktir.

Yönlendirilmiş homotopi kürelerinin sonluluğunu gösteren Kervaire ve Milnor'un çalışmasını kullanmak isteyebilirsiniz, ancak diffeomorfizm tipiyle ilgili bir ifadeden uyumluluk sınıfı hakkında bir ifadeye nasıl geçileceğini bilmiyorum. Bir kürenin diffeomorfik ile uyumlu olduğu doğru mu? Bu uyum, diffeomorfizmin h-kobordizm teoremine göre doğru olduğunu ima eder, ancak bazı manifoldlar için en azından diğer yolun geçerli olmadığına inanıyorum.

Answer 1

Burada Siebenmann'ın Kirby-Siebenmann cildinin V. Essay'ında ilk bölümlerden bazı tanımları alırken yazdıklarını tekrar ediyorum:

İzin Vermek $n \geq 5$. Kirby ve Siebenmann'ın bağlantı$Top(n)/O(n) \rightarrow Top/O$, $\pi_n(Top/O)=\pi_n(Top(n)/O(n))$. İkincisi, birlikte çalışmayı seçeceğimiz şeydir. Bölüm 5.3'te uzay$\Omega^n Top(n)/O(n)$ pürüzsüzleştirme alanı ile tanımlandı $S^n$standart düz yapıya sahip bir diske göre. Bu nedenle$\pi_n(Top(n)/O(n))$ bu tür pürüzsüz yapıların uyum sınıflarıdır.

Bu tür düzleştirmelerin homotopi düzleştirmelerine dahil edilmesini düşünebiliriz. $S^n$bir diske göre (belki h-kobordizmine kadar?). Surjektiflik, Poincare varsayımından ve enjektivite Siebenmann'ın "Alexander izotopisi" dediği şeyden kaynaklanır, bunun ne olduğundan emin değilim.

Sonra bu homotopi yumuşatma seti $S^n$ bir diske göre, yönünü taşımak için homotopi eşdeğerini kullanarak verilen yönlendirilmiş homotopi küreleri grubuna bir haritaya sahiptir. $S^n$homotopi küreye ve sonra homotopi denkliğini unutarak. Bu harita, herhangi bir homotopi küresi içinde standart bir disk içerdiğinden, örtüktür. Enjektiviteyi göstermenin en önemli yanı, homotopi küremizde oryantasyona kadar tek bir izotopi gömülü disk sınıfının olmasıdır.

Bu önyargı zinciri gösteriyor ki $\pi_n(Top/O)$ için $n\geq 5$ dır-dir $\Theta_n$, yönlendirilmiş homotopi küreler grubu. Bence bu kanıttaki herhangi bir incelik, homotopi pürüzsüzleştirmelere pürüzsüzleştirmelerin dahil edilmesinin enjekte edici olduğunu göstermekten kaynaklanacaktır, bu yüzden "Alexander izotopisine" daha fazla bakacağım.