SVD: Neden sağ tekil matris devrik olarak yazılır
SVD her zaman şu şekilde yazılır:
A = U Σ V_Transpose

Soru şudur: Neden doğru tekil matris V_Transpose olarak yazılmıştır?
Demek istediğim, W = V_Transpose diyelim
ve sonra SVD'yi A = U Σ W olarak yazın
SVD Resim kredisi: https://youtu.be/P5mlg91as1c
teşekkür ederim
Yanıtlar
$V^T$ Hermitian devriktir (karmaşık eşlenik devrik) $V$.
$V$ kendisi de sağ tekil vektörleri tutar $A$ bunlar (ortonormal) özvektörler $A^TA$; bu kapsamda:$A^TA = VS^2V^T$. Yazarsak$W = V^T$, sonra $W$ artık özvektörlerini temsil etmeyecek $A^TA$. Ek olarak, SVD'yi şu şekilde tanımlayarak:$A = USV^T$ doğrudan kullanmamıza izin verir $U$ ve $V$ matrisi köşegenleştirmek için $Av_i = s_iu_i$, için $i\leq r$ nerede $r$ rütbesi $A$ (yani $AV = US$). Sonunda kullanarak$USV^T$ ayrıca simetrik bir matris durumunda hesaplamamızı basitleştirir $A$ bu durumda $U$ ve $V$ çakışacaktır (bir işarete kadar) ve tekil ayrışımı doğrudan öz-ayrışmaya bağlamamızı sağlar. $A = Q \Lambda Q^T$. Açık olmak gerekirse: " evet,$V^T$ onun yerine $W = V^T$biraz gelenekseldir "ama yararlıdır.
Doğrusal cebirsel nedenlerle devrik olarak yazılmıştır.
Sıradaki önemsiz durumu düşünün $A = uv^T$, nerede $u$ ve $v$örneğin birim vektörlerdir. Bu ifade size doğrusal bir dönüşüm olarak şunu söyler:$A$ vektörü alır $v$ -e $u$ve ortogonal tamamlayıcısı $v$sıfıra. Transpozenin doğal olarak nasıl ortaya çıktığını görebilirsiniz.
Bu, size herhangi bir doğrusal dönüşümün bu tür birinci dereceli haritaların toplamı olduğunu söyleyen SVD tarafından genelleştirilir ve dahası, zirvelerin ortogonal olmasını düzenleyebilirsiniz. Özellikle ayrışma$$ A = U\Sigma V^T = \sum_{i = 1}^k \sigma_i u_i v_i^T $$ herhangi bir doğrusal dönüşüm için $A$ açık $\mathbb{R}^n$ bazı $n$ (daha genel olarak, ayrılabilir Hilbert uzayındaki herhangi bir kompakt operatör), birimdik kümeleri bulabilirsiniz $\{v_i\}$ ve $\{u_i\}$ öyle ki
$\{v_i\}$ aralıklar $\ker(A)^{\perp}$.
$A$ alır $v_i$ -e $\sigma_i u_i$, her biri için $i$.
Bunun özel bir durumu, pozitif yarı kesin bir matris için spektral ayrıştırmadır. $A$, nerede $U = V$ ve $u_i$'ler özvektörleridir $A$--- zirveler $u_i u_i^T$sıra bir ortogonal projeksiyonlardır. Hermitian için$A$, $U$ "neredeyse eşittir" $V$--- eğer karşılık gelen özdeğer negatifse, birinin alınması gerekir $u_i = -v_i$ Böylece $\sigma_i \geq 0$.
Cevabım diğerlerinden çok daha aptalca ...
diyelim, W = V_Transpose
ve sonra SVD'yi A = U Σ W olarak yazın
bununla okuyucudan bir değişkeni daha ezberlemesini istiyorsunuz ($W$) ama basit bir ifade için $V^T$ sadece buna değmez, IMO.