Tanımlayabilir miyiz $z^{\frac{1}{2}}$ holomorfik bir işlev olarak $\mathbb{C}\left\backslash \left\{ 0\right\} \right.$?

Question

Düşünmek $$z^{\frac{1}{2}}:=e^{\frac{1}{2}(\log|z|+iarg(z))}.$$

Bunu görebiliriz, örneğin, $z^{\frac{1}{2}}$ yakınındaki holomorfik bir fonksiyon olarak tanımlanabilir $z=\frac{1}{2}$, çok küçük bir mahalleyi seçerek $z=\frac{1}{2}$ve uygun bir $arg(z)$ orada sürekli kılmak için.

Sorum: Can $z^{\frac{1}{2}}$ üzerinde holomorfik bir işlev olarak kabul edilebilir $D\left\backslash \left\{ 0\right\} \right.$? Buraya$D$ birim disktir $\mathbb{C}$.

By holomorfik fonksiyonu bir harita anlamına$f:D\left\backslash \left\{ 0\right\} \right.\rightarrow \mathbb{C}$ Cauchy-Riemann denklemini karşılar $D\left\backslash \left\{ 0\right\} \right.$.

Aşağıda cevaplandığı gibi sorumun cevabının olumsuz olduğunu görüyoruz. Aşağıdaki ekstra ilgili soruyu değerlendirmek istiyorum:

Fazladan bir soru : benzer bir soru ama bu sefer alanı dikkate alıyoruz$D\left\backslash B(0,\epsilon) \right.$çok küçük $\epsilon$.

Answer 1

Hayır, bu mümkün değil. Bu işlev, delinmiş bir mahallede sınırlanacaktır.$0$, hangisi yapacak $0$ çıkarılabilir bir tekillik $z^{\frac{1}{2}}$. Ama sonra$0$ ayrıca türevin çıkarılabilir bir tekilliği olacaktır $\frac{1}{2z^{\frac{1}{2}}}$çıkarılabilir bir tekilliğe sahip olamayan $0$ çünkü delinmiş bir mahalleyle sınırlı değil.