Wronsk tipi denklem

Question

Dinamik sistemle ilgili bazı eski notları gözden geçiriyorum ve burada doğrusal olmayan bir denklemle uğraştığımız dışında bana Wronsk denklemini hatırlatan bir sonuçla karşılaştım:

İzin Vermek $\phi(t;{\bf x})$ denkleme bir çözüm olmak $\dot{{\bf x}}(t)= f(t,{\bf x}(t))$, ile $\phi(0;{\bf x})={\bf x}$. İşlevi tanımlayın$W$ tarafından $$ \begin{align} W(t,{\bf x})&=\det\left[\frac{\partial \phi}{\partial {\bf x}}(t;{\bf x})\right]. \end{align} $$ Sonra, $W$ diferansiyel denklemi karşılar $$ \dot{W}(t)=W(t)\, (\nabla_{\bf x}\cdot f)(t,\phi(t;\mathbf{x})); \qquad W(0)=1, $$ nerede $\left(\nabla_{\bf x}\cdot f\right)(t,\phi(t;{\bf x})) =\sum_{j=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_j}(t,\phi(t;{\bf x}))$

Bu sonucu kanıtlamaya çalışıyorum ama tamamen anlaşmazlık içindeyim. Herhangi bir ipucu veya bir çözümün taslağı takdir edilecektir.

Answer 1

İlk önce doğrusal cebirden aşağıdaki temel yardımcı Lemma'yı belirteyim

Lemma: Bırak$\Delta:\mathbb{R}^{n^2}\longrightarrow\mathbb{R}$ belirleyici işlev, yani $$\Delta(\alpha_{11},\ldots,\alpha_{n1},\ldots,\alpha_{1n}, \ldots,\alpha_{nn})^{\top} = \det[(\alpha_{ij})]$$ nerede $(\alpha_{ij})$ ... $n\times n$--matrix kimin $ij$- inci bileşen $\alpha_{ij}$. Sonra,$$\Delta_\alpha= \frac{\partial \Delta}{\partial\alpha}= (W_{11}\ldots,W_{n1},\ldots,W_{1n},\ldots,W_{nn})$$ nerede $W_{ij}$ ... $ij$- matrisin kofaktörü $(\alpha_{ij})$.

Bu Lemma'nın kanıtı, kofaktör formülünü kullanarak belirleyicileri hesaplamakla ilgili basit bir alıştırma.

---

İşte OP'nin açıklamasının bir kanıtı:

Çözüm verildiğinde $\phi(t;{\bf x})=(\phi^1(t;{\bf x}),\ldots,\phi^n(t;{\bf x}))^\top$ ilk değer problemine $$ \dot{\mathbf{y}}(t)=f(t,\mathbf{y}(t)),\qquad \mathbf{y}(0)=\mathbf{x}$$ notasyonu kullanıyoruz $\phi^{i}_{x_j}(t;\mathbf{x})= \frac{\partial\phi^i}{\partial x_j}(t;\mathbf{x})$. Elde ettiğimiz zincir kuralı ile birlikte yukarıdaki yardımcı Lemma'yı kullanarak$$ \begin{align} \dot{W}&= \sum_i W_{i1}\dot{\phi}^{i}_{x_1} +\cdots+ \sum_i W_{in}\dot{\phi}^{i}_{x_n}\\ &=\sum_{ij} W_{ij}\dot{\phi}^{i}_{x_j} \tag{1}\label{chain} \end{align} $$ nerede $W_{ij}$ ... $ij$- matrisin kofaktörü $\left(\phi^i_{x_j}\right)$. Hile yapmak kolaydır$\phi_{\bf x}(t;{\bf x})=\frac{\partial\phi}{\partial {\bf x}}(t;{\bf x})$ varyasyonel denklemi karşılar $$\begin{align} \begin{matrix} \dot{\phi}_{\bf x}(t;{\bf x})&=&f_{\bf{x}}(t,\phi(t;{\bf{x}}))\phi_{\bf x}(t;{\bf x})\\ \phi_{\bf x}(0;{\bf x})&=&I \end{matrix} \tag{2}\label{vareq} \end{align} $$ \ Eqref {chain} içindeki \ eqref {vareq} 'yi ikame ederek ve iki özdeş sütunu olan bir matrisin determinantının sıfır olduğunu hatırlayarak, $$ \begin{align} \dot{W}(t)&=\sum_{ijk} W_{ij}(t) f^i_{x_k}(t,\phi(t;{\bf x}))\phi^k_{x_j}(t;{\bf x})\\ &= \sum_{ki} \left(f^i_{x_k}(t,\phi(t;{\bf x})\right) \sum_j W_{ij}(t)\phi^k_{x_j}(t;{\bf x})\\ &=\sum_i f^i_{x_i}(t,\phi(t;{\bf x}) \sum_j W_{ij}(t)\phi^i_{x_j}(t;{\bf x})\\ &= \sum_i f^i_{x_i}(t,\phi(t;{\bf x})) W(t) = W(t)\,\left(\nabla_{\bf x}\cdot f\right)(t,\phi(t;{\bf x})) \end{align} $$

---

Yorumlar:

1. OP'nin ifadesi, belirli bir durum olarak doğrusal için Wronsk denklemine sahiptir. Aslında, otonom olmayan bir lineer sistem için$$ \dot{x}=A(t) x\quad x(0)=x_0, $$ nerede $A(t)\in L(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n)$ sürekli olarak farklılaştırılabilir $t$, $f(t,\mathbf{x})=A(t)\mathbf{x}$ ve bu yüzden, $(\nabla_x\cdot f)(t,\mathbf{x})=\operatorname{Tr}(A(t))$ nerede $\operatorname{Tr}(A(t))= \sum_j a_{jj}(t)$, izi $A(t)$. Sonra$W$ tatmin eder $$ \dot{W}=\operatorname{Tr}(A(t))\, W $$ ve bu yüzden, $$ W(t)=W(0) \exp\Big(\int^t_0\operatorname{Tr}(A(s))\,ds\Big) $$
2. İfade, Liouville teoremini kanıtlamak için kullanılabilir. Başlangıç ​​değer problemine çözümlerin benzersizlik teoremi$$ \begin{align} \dot{y}=f(t, y),\quad y(s)=x\tag{3}\label{three} \end{align} $$ çözümlerin $\eqref{three}$aşağıdaki akış özelliğini karşılayın : If$\phi_{t,s}(y)=\phi(t;s,y)$ çözümü gösterir $t$ başlangıç ​​koşulları $\phi(s;s,y)=y$, sonra

a. $\phi_{t,s}\circ\phi_{s,r}(y)=\phi_{t,r}(y)$ hepsi için $r,\,s,\,t\in I$ ve $y\in \Omega$.

b. $\phi_{t,t}(y)=y$ hepsi için $t\in I$ ve $y\in\Omega$.

Basit olması için, herhangi bir çözümün $\Omega$ her zaman var, yani $I=\mathbb{R}$. Farz et ki$D(0)\subset\Omega$ sınırlı bir hacme sahiptir $v(0)$ içinde $\mathbb{R}^n$; sonra akış$\phi_{0,t}$ nakliye $D(0)$ -e $D(t)=\phi_{t,0}(D(0))$. Bir ilgi sorunu, hacmin nasıl olduğunu anlamaktır.$v(t)=\operatorname{vol}(D(t))$ ile gelişir $\phi_{t,0}$.

$v(t)$ denklemi karşılar $$\begin{align} \begin{matrix} \dot{v}(t)&=& \int\limits_{D(0)}(\nabla_y\cdot f)(t,\phi(t;0,y)) \det\left[\frac{\partial\phi}{\partial y}(t;0,y)\right] dy\\ &=&\int\limits_{D(t)}\nabla_y\cdot f(t,y) dy \end{matrix} \tag{4}\label{liouvfor} \end{align} $$Bunu görmek için, entegrasyon için değişkenler formül değişikliği uygulamak,
elde etmek$$ \begin{align} \begin{matrix} v(t)&=&\int_{D(t)} dy=\int_{\phi_{t,0}D(0))} dy\\ &=& \int_{D(0)} \left|\det\left[\frac{\partial \phi_{t,0}}{\partial y}(y)\right]\right| dy \end{matrix}\tag{5}\label{multchange} \end{align} $$ Dan beri $\phi_{t,0}(\cdot)$ bir diffeomorfizm ailesidir ve $\phi_{0,0}=Id$, \ eqref {multchange} içindeki mutlak değeri yok sayabiliriz. Göre farklılaşma$t$ verir $$ \dot{v}(t)= \int_{D(0)} \frac{d}{dt} \det\left[\frac{\partial \phi_{t,0}}{\partial y}(y)\right] dy $$ Sonuç daha sonra OP'nin ifadesinden ve değişkenlerin değişim formülünün başka bir uygulamasından kaynaklanır.