Yol integral kimliği

Question

Bir EFT olarak GR ile ilgili EPFL Derslerinde Arka Plan Alan Yöntemlerini okuyorum . Yazarlar bu kimliği Sayfa 23, Denklem (174) 'de kullanırlar:$$ \mathcal{N}^{-1}\int\mathcal{D}\phi\,\mathcal{D}\phi^*\exp\{-i\int\mathrm{d}^4x\,\phi(\square+v(x))\phi^*\} = \frac{\mathcal{N}^{-1}}{\det(\square+v(x))}\tag{174} $$bu sadece standart bir Gauss (yol) integralidir. Ama bunu kullanmaya devam ediyorlar:$$ \frac{\mathcal{N}^{-1}}{\det(\square+v(x))} = \mathcal{N}^{-1}\exp\{-\int\mathrm{d}^4x\,\langle x|\text{Tr}\ln(\square+v(x))|x\rangle\} \tag{174}$$tam olarak anlamadığım. Bu,$\log \det \mathbf{A} = \text{Tr} \log \mathbf{A}$? Eğer öyleyse, neden bir integral var$\exp$ - onu 'iptal etmek' için karşılık gelen bir delta işlevi olmamalı mı?

Answer 1

1. Evet OP doğru: Dersler Gauss yolu entegrasyonunu ve kimliğini kullanıyor$$ \det A~=~e^{{\rm tr}\ln A}\quad \Leftrightarrow \quad \frac{1}{\det A}~=~e^{-{\rm tr}\ln A} \tag{i}$$eq. (174).

2. Daha sonra dersler tamlık ilişkisini kullanıyor $$\int\mathrm{d}^4x\,|x\rangle \langle x|~=~{\bf 1} \tag{ii}$$ ve $$ {\rm tr}[A|x\rangle \langle x|]~=~ \langle x|A|x\rangle\tag{iii} $$eq. (174).

3. Son denklemin sağ tarafında kalan iz. (174) örneğin bir lezzet izi olabilir ve eq. (iii) yalnızca kısmi bir izdir .

Answer 2

Evet, haklısınız - belirleyici-logaritma kimliği yukarıda kullanılmış. Üstel olarak, aşağıdakiler ( Greiner, Reinhardt'ın Alan Niceleme kitabından , bölüm 11, sayfa no. 353) kullanılmıştır -
$ \int {d^D v \exp \big\{ {- \frac{1}{2} v^T A v} \big\}} = \big(2\pi\big)^{\frac{D}{2}} \exp \big\{ {- \frac {1}{2} Tr ln A} \big\} = \big(2\pi\big)^{\frac{D}{2}}\big(det A \big)^{-\frac{1}{2}} $

Yukarıdakilerin ispatı da burada verilmiştir. $2\pi$'ler büyük olasılıkla zaten eşlik eden sabit tarafından emilmiştir. Sorunuzda verilen ifade (büyük olasılıkla) Feynman (yol integrali) formalizminde bir eylem integralidir ve bu nedenle$-i$ orada mı - Feynman biçimciliğinin özü, eylemin şu şekilde yazılabilmesidir: $ \exp \big\{\frac{-i S}{\hbar}\big\} $. Şerefe!