abrir puntos genéricos de esquema afín?

Question

Dejar $S=\text{Spec} A$ ser un esquema afín, asumimos $A$ no es un campo, entonces conocemos componentes irreductibles de $S$ corresponden a todos los ideales primos mínimos de $A$De hecho, estos ideales primarios son puntos genéricos de componentes irreductibles de $S$.

Entonces quiero saber si asumimos que todos estos puntos genéricos son puntos abiertos en $S$(o al menos un punto genérico está abierto), ¿qué propiedad de $A$ podemos deducir

Y lo que quiero decir con un punto abierto es que este punto está abierto en la topología del subespacio.

¡Gracias!

Answer 1

Pues simplemente supongamos que $\mathrm{Spec}(A)$ es integral (te dejaré pensar en el caso no integral) con un punto genérico único $\eta$. Si$\{\eta\}$ está abierto entonces sabemos que existe algún barrio $D(f)$ de $\eta$ contenida en $\{\eta\}$ y así, por supuesto, $D(f)=\{\eta\}$. De esto, vemos que

$$A[f^{-1}]=\mathcal{O}(D(f))=\mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(A),\eta}=\mathrm{Frac}(A)$$

donde la igualdad media se mantiene ya que no hay barrios de $\eta$ adecuadamente contenido en $D(f)$.

Por el contrario, vemos que si existe alguna $f$ en $A$ tal que $\displaystyle A[f^{-1}]=\mathrm{Frac}(A)$ luego vemos que, en particular, $A[f^{-1}]$ es un campo y entonces $\mathrm{Spec}(A[f^{-1}])$solo consta de un punto. Pero, el mapa$\mathrm{Spec}(A[f^{-1}])\to \mathrm{Spec}(A)$ es una incrustación abierta con imagen $D(f)$ y así, en particular, su imagen contiene $\eta$. Pero desde$D(f)$ consta de un solo punto debemos tener que $D(f)=\{\eta\}$ y por lo tanto $\{\eta\}$ Esta abierto.

Así, de lo anterior deducimos lo siguiente:

Proposición: Let$A$ser un dominio. Entonces el punto genérico (único)$\eta$ de $\mathrm{Spec}(A)$ está abierto si y solo si existe algún $f$ en $A$ tal que $A[f^{-1}]=\mathrm{Frac}(A)$.

Démosle algunos ejemplos / no ejemplos simples:

Ejemplo 1: dejar$\mathcal{O}$ ser un DVR con uniformizador $\pi$. Luego,$\mathrm{Frac}(\mathcal{O})=\mathcal{O}[\pi^{-1}]$ y entonces ves que el punto genérico de $\mathrm{Spec}(\mathcal{O})$Esta abierto. De hecho,$\mathrm{Spec}(\mathcal{O})$ Consiste, como se usa muy a menudo, en un punto genérico abierto $\eta$ y un punto cerrado $(\pi)$.

Observación 1: de manera más general, si$K$ es un campo y $\mathcal{O}$es un llamado anillo de valoración microbiana en$K$ (por ejemplo, ver [1, §I.1.5]) luego $K=\mathcal{O}[\varpi^{-1}]$ para cualquier pseudounifonizador $\varpi$ (por ejemplo, ver [1, Lema I.1.5.9]) y así el punto genérico de $\mathrm{Spec}(\mathcal{O})$Esta abierto. Tales anillos de valoración juegan un papel fundamental en la teoría de los espacios ádicos de Huber. Como ejemplo, se puede considerar la valoración inducida sobre$\mathrm{Frac}(\mathbb{C}_p\langle t\rangle)$ por la valoración

$$\left|\sum_{n=0}^\infty a_n t^n\right|=\sup |a_n|$$

en

$$\mathbb{C}_p\langle t\rangle:=\left\{\sum_{n=0}^\infty a_n t^n:\lim a_n=0\right\}$$

Entonces, el anillo de valoración en $\mathrm{Frac}(\mathbb{C}_p\langle t\rangle)$es un ejemplo de anillo de valoración microbiana. Puede hacer aún más exótico (sin rango$1$) ejemplos. Véase [1, §I.1.5] nuevamente).

No-ejemplo 2: Ciertamente$\mathbb{Z}$ no tiene punto genérico abierto ya que no hay elemento $f$ en $\mathbb{Z}$ tal que $\mathbb{Z}[f^{-1}]=\mathbb{Q}$. De hecho, esto queda claro al pensar en el hecho de que$v_p(f)\ne 0$ por solo un número finito $p$ (dónde $v_p$ es el $p$-valuación ácida).

Ejemplo / No ejemplo 3: Si$A$ es de tipo finito sobre un campo $k$ (y un dominio) luego el punto genérico de $\mathrm{Spec}(A)$ está abierto si y solo si $A$ es una extensión finita de $k$. De hecho, una forma sencilla de ver esto es que esto implica que existe$f$ en $A$ tal que $A[f^{-1}]=\mathrm{Frac}(A)$. Ya que$\mathrm{Spec}(A[f^{-1}])\to \mathrm{Spec}(A)$ es una incrustación abierta, esto implica (por ejemplo, ver [2, Teorema 5.22 (3)]) que $\mathrm{Spec}(A)$ tiene dimensión cero de donde se sigue la conclusión (por ejemplo, ver [2, Corolario 5.21]).

Observación 2: Combinando el Ejemplo 1 y el Ejemplo / No-ejemplo 3 podemos observar una sutileza interesante. Es decir, como usamos en este último (y es bien conocido) si$X$ es una variedad irreductible entonces $\dim(U)=\dim(X)$ para cualquier subconjunto abierto $U$ de $X$. Esto es falso para los anillos generales, como muestra el ejemplo 1 , ya que$\dim\{\eta\}=0$ pero $\dim \mathcal{O}=1$ (en el caso del DVR).

Referencias:

[1] Morel, S., 2019. Adic Spaces. Notas de lectura.https://web.math.princeton.edu/~smorel/adic_notes.pdf.

[2] Görtz, U. y Wedhorn, T., 2010. Geometría algebraica. Wiesbaden: Vieweg + Teubner.