Álgebras booleanas contablemente completas

Question

Estoy leyendo el artículo de Tarski "Aspectos axiomáticos y algebraicos de dos teoremas sobre sumas de cardinales". En la página 99, establece el siguiente teorema.

Teorema A booleano$\sigma$-álgebra es isomorfa a un $\sigma$-álgebra de conjuntos si y solo si todos sus elementos $\neq1$ están contenidos en una prima $\sigma$-ideal (es decir, un ideal máximo que contiene el sup de cualquier familia contable de sus elementos).

La necesidad parece obvia. En cuanto a la suficiencia, Tarski dice que se puede probar de la misma manera que se puede probar el teorema de representación de Stone. Desafortunadamente, no entiendo cómo. ¿Tiene alguna sugerencia al respecto?

Answer 1

La demostración es casi idéntica a la demostración del teorema de representación de Stone; solo agrega un poco$\sigma$s en lugares apropiados. Dejar$B$ ser un booleano $\sigma$-algebra y deja $X$ ser el conjunto de prime $\sigma$-ideales en $B$. Definir$f:B\to P(X)$ por $f(b)=\{I\in X:\neg b\in I\}$. Luego$f$ es un homomorfismo, y de hecho es un $\sigma$-homomorfismo ya que cada $I\in X$ es un $\sigma$-ideal. Ahora, si su hipótesis es válida, entonces$f$ es inyectivo, ya que $f(b)=\emptyset$ significa que $\neg b$ no está en ningún mejor momento $\sigma$-ideal así $\neg b=1$ y $b=0$. Así,$B$ es isomorfo al $\sigma$-álgebra de conjuntos dada por la imagen de $f$.