Álgebras Sigma generadas
No soy matemático, sino que recojo temas sobre la marcha, cuando necesito algo para el tema que estoy estudiando en el tiempo dado. Así que lamento si esto es trivial para la mayoría de ustedes y me disculpo por cualquier error conceptual que pueda cometer en la descripción. Intentaré ser lo más preciso posible.
Actualmente estoy estudiando Teoría de la probabilidad, de este curso: https://www.youtube.com/playlist?list=PL5B3KLQNAC5jT6yjV1199ji1zUy1YUp6P , [con el fin de comprender el cálculo estocástico para las finanzas (Vol. II - S. Shreve)], y me topé con álgebras sigma.
Si bien entiendo el concepto; si tenemos un conjunto que es una colección de subconjuntos de Omega (es decir, si tenemos una colección de eventos) denotado por F, entonces F es un sigma-álgebra si satisface las siguientes tres condiciones;
- Omega pertenece a F,
- F está cerrado bajo complementos,
- F está cerrado bajo uniones contables
Hasta ahora todo bien y también entiendo las propiedades que se derivan de la definición, así como cómo se derivan. Además, sé que tenemos el álgebra sigma trivial, el álgebra sigma más pequeña en Omega y el álgebra sigma discreta, que es el conjunto de potencias de Omega, siendo el álgebra sigma más grande en Omega.
Mi problema son las álgebras sigma generadas. Entiendo la definición; Sea A una colección arbitraria de subconjuntos de Omega, entonces sigma (A) es el álgebra sigma generada, generada a partir de A y es el álgebra sigma más pequeña que contiene A. Además, podemos encontrar el álgebra sigma más pequeña intersecando todas las álgebra sigma que contienen A , ya que la intersección de las álgebras sigma también es una álgebra sigma.
La última parte es la que no entiendo y me confunde. Entiendo que tenemos el conjunto de potencias de Omega que definitivamente contiene la colección A - Pero, ¿qué queremos decir exactamente con la intersección de todas las álgebras sigma que contienen A para encontrar la más pequeña que contiene A? ¿Significa que si tenemos un álgebra sigma que contiene la colección A y otra colección de subconjuntos, B (que es un álgebra sigma que contiene A, pero entiendo que no es el más pequeño) y lo intersectamos con el conjunto de potencias de Omega, generamos sigma (A), que de hecho es la más pequeña y refinada para responder las preguntas que necesitamos en nuestro problema? Pero, ¿de dónde viene exactamente el álgebra sigma más grande (en las colecciones A y B)?
Si alguien pudiera dar una explicación más intuitiva o incluso mejor dar un ejemplo (finito, como una tirada de dado), estaría muy agradecido.
¡Muchas gracias por tu tiempo leyendo esto! :)
Respuestas
El punto es no tomar un $\sigma$-álgebra $B$ conteniendo $A$ y lo cruzan con el conjunto de poder de $\Omega$. (Tenga en cuenta que si$B$es cualquier colección de subconjuntos de$\Omega$y $P(\Omega)$ es el conjunto de poder de $\Omega$, luego $B\cap P(\Omega)=B$. Entonces, cruzando con el poder de$\Omega$ no hace mucho). El punto es que si tenemos dos $\sigma$-álgebras $B_1$ y $B_2$ que contienen $A$, luego $B_1\cap B_2$ también es un $\sigma$-algebra que contiene $A$(ejercicio). Además,$B_1\cap B_2$ va a ser más pequeño que $B_1$ y $B_2$ (a menos que uno de $B_1$ o $B_2$ contiene el otro).
Entonces $\sigma(A)$lleva esta idea a su extremo: intersectamos todos $\sigma$-álgebras que contienen $A$. En símbolos, deja$\mathscr{B}$ ser el conjunto de $\sigma$-álgebras en $\Omega$ que contienen $A$. Luego$\sigma(A)=\bigcap_{B\in\mathscr{B}}B$. Luego$\sigma(A)$ es un $\sigma$-algebra que contiene $A$ (ejercicio), y si $B$ es un $\sigma$-algebra que contiene $A$ luego $\sigma(A)\subseteq B$por definición. Entonces tiene sentido llamar$\sigma(A)$ el mas pequeño $\sigma$-algebra que contiene $A$, o la $\sigma$-álgebra generada por $A$.
Ahora preguntas donde estas mas grandes $\sigma$-los álgebras vienen, y eso depende mucho del ejemplo particular. En general, la colección$\mathscr{B}$anterior podría ser bastante complicado. Lo máximo que podemos decir en general es que siempre hay al menos una$\sigma$-álgebra en $\mathscr{B}$, a saber, el poder de $\Omega$.
La construcción de $\sigma(A)$ descrito anteriormente es bueno para una definición, pero bastante difícil de poner en práctica porque puede ser difícil o al menos llevar mucho tiempo calcular $\mathscr{B}$. Dado un particular$A$, si se quiere obtener una descripción más explícita de $\sigma(A)$entonces esto generalmente implica calcular familias de conjuntos que deben estar en cualquier$\sigma$-algebra que contiene $A$ hasta que se te ocurra una familia que sea en sí misma $\sigma$-álgebra. De hecho, si puedes crear una colección$B$ el cual es un $\sigma$-algebra que contiene $A$ y debe estar contenido en cualquier $\sigma$-álgebra que contiene $A$, entonces se sigue que $\sigma(A)=B$.
Cuando $\Omega$ es finito, la idea de fuerza bruta es un poco más razonable porque puede comenzar a cerrar $A$ bajo intersecciones y complementos hasta obtener un álgebra.
Considere, por ejemplo, la línea real y la colección de todos los conjuntos de un punto. $\{\{x\}: x \in \mathbb R\}$. Un álgebra sigma que contiene estos conjuntos es el conjunto de potencias. Otro es la familia de todos los conjuntos contables y sus complementos. También hay muchos otros. Ahora tome los conjuntos que son comunes a todas esas álgebras sigma. Eso da el álgebra sigma generada por nuestra familia. En este caso esto resulta ser exactamente conjuntos contables y sus complementos. Razón: Cualquier álgebra sigma que contenga singleton debe contener todos los conjuntos contables (ya que son uniones contables de singleton). También debe contener sus complementos. Por tanto, el álgebra sigma más pequeña que contiene todos los singeltons es exactamente la familia de todos los conjuntos contables y sus complementos.