Aniquilador de módulo simple

Question

Dejar $C$ ser un finitamente generado $R$-álgebra donde $R$Es un anillo conmutativo unital. Dejar$S$ ser un simple $C$-módulo. Demuestre que el aniquilador de$S$ en $R$ es un ideal máximo.

Lo que he probado es: Cuando $C=R$ entonces es una consecuencia directa de la simplicidad de $S$ como un $R$-módulo. Además, dado que$S$ es simple entonces $S$ es cíclico (es decir $S=Cy$ para distinto de cero $y\in S$). Considere el mapa$$f: C \to S$$ $$c \mapsto cy$$ Entonces $\ker(f)$ es el aniquilador de $S$ en $C$ y $\ker(f) \cap R$ es el aniquilador de $S$ en $R$. He demostrado que es un ideal de$R$pero no tengo idea de seguir mostrando la maximalidad. ¿Es una dirección verdadera o hay algo más que debería considerar para mostrar la máxima?

Answer 1

Tengo una idea: si restringimos el mapa $f: C \to S$ en $R$. Entonces tenemos un isomorfismo entre$f(R)=Ry$ y el cociente $R/(\ker(f) \cap R)$, dónde $\ker(f) \cap R$ es el aniquilador de $S$ en $R$.

Para mostrar $R/(\ker(f) \cap R)$ es máxima, basta con demostrar que $Ry$ es simple como un $R$-módulo. Dejar$ry \in Ry$ser un elemento distinto de cero. Entonces claramente$Ry$ contiene $\langle ry \rangle$ como $R$-módulos. Por el contrario, desde$ry \in Ry \subset S$ es distinto de cero, $\langle ry \rangle = S \supset Ry$. Entonces$Ry = \langle ry \rangle$ para cualquier distinto de cero $ry \in Ry$. Hnece$Ry$ es simple y $R/(\ker(f) \cap R)$ es máxima.

Por favor, avíseme si hay ambigüedad en mi respuesta.