Asignaciones de rango e inmersiones constantes

Question

Para que quede claro: los objetos de los que estamos hablando aquí son suaves ($C^\infty$) variedades (sin límite) y la inmersión se define como un mapa entre variedades, que tiene un rango constante que es igual a la dimensión del codominio.

Mientras intentaba hacer un ejercicio seguía tropezando con la idea de que "la inmersión es localmente una proyección y, por lo tanto, un mapa abierto". Esta idea no es el problema. El "problema" es el teorema que establece lo siguiente:

Dejar $M$ y $N$ ser colectores lisos, $dim M=m$, $dim N=n$, y deja $f:M\to N$ ser un mapeo suave de un rango constante $r$. Para cada$p\in M$ hay un gráfico (suave) $(U, \varphi)$ a $p$ y gráfico $(V, \psi)$ a $f(p)$, tal que $f(U)\subset V$ y tal que $f$ tiene representación de coordenadas $$\psi \circ f \circ \varphi ^{-1} (x_1,\ldots ,x_r,x_{r+1}, \ldots ,x_m)=(x_1,\ldots ,x_r,0,\ldots ,0)$$

¿No significa esto que todo mapeo de rango constante, no solo inmersiones, es localmente una proyección? Me parece que he entendido completamente mal la idea de "ser localmente una proyección", porque eso debería ser algo muy característico de las inmersiones. Además, si cada mapeo de rango constante es localmente una proyección, eso significaría que no hay mapeos de rango constante desde variedades compactas al espacio euclidiano.

Entonces, mi pregunta es: ¿qué quiere decir la gente cuando dice que "la inmersión es localmente una proyección"?

Answer 1

Esta forma local $(x_1,\ldots, x_r,x_{r+1},\ldots, x_m)\to (x_1,\ldots, x_r,0,\ldots,0)$está escrito de forma un tanto engañosa. Si examinamos algunos casos especiales, podemos ver que estos mapas no son todos "proyecciones" en el sentido que usted pretende. Si$m\ge n=r$, tenemos que el mapa tiene la forma $$ (x_1,\ldots, x_m)\mapsto(x_1,\ldots, x_r)$$y es de hecho localmente una proyección auténtica. Si$m\ge n>r$, entonces el mapa parece $$ (x_1,\ldots, x_m)\mapsto (x_1,\ldots,x_r)\mapsto (x_1,\ldots, x_r,0,\ldots,0)$$y por tanto una composición de una proyección y luego una inclusión. En el caso donde$r=m\le n$, este mapa se convierte en $$ (x_1,\ldots, x_m)\mapsto(x_1,\ldots, x_m,0,\ldots, 0)$$que es una inclusión . Si$r<m\le n$, obtenemos $$ (x_1,\ldots, x_m)\mapsto (x_1,\ldots, x_m,0,\ldots,0)\mapsto (x_1,\ldots, x_r,0,\ldots, 0)$$ que es composición de una inclusión y una proyección.

La moraleja de la historia es que hay algunos comportamientos variados. Por ejemplo, tomemos la inclusión de$S^2\hookrightarrow \Bbb{R}^3$. Este es un rango constante$2$ mapa, por lo que el teorema nos dice que localmente se ve como $(x_1,x_2)\mapsto (x_1,x_2,0)$. Es decir, a nivel local, es una inclusión estándar. Es un ejemplo de la inclusión de una variedad compacta en el espacio euclidiano y no contradice el teorema.