Atiyah-Macdonald: Ejercicio 1.8

Question

Dejar $A$ Llevando $\neq0$. Demuestre que el conjunto de ideales principales de$A$ tiene elementos mínimos con respecto a la inclusión.

Estoy tratando de hacer este ejercicio de Atiyah-Macdonald.

Intento: Debemos asumir que no existe tal ideal primo mínimo. Entonces tenemos una cadena$P_1 \supset P_2 \supset P_3 \supset ...$. Entonces deberíamos establecer$P= \bigcap_i P_i$, Este sería un elemento mínimo, pero no veo por qué debería ser principal.

Answer 1

Pista : Pruébelo por contraposición: si ninguno$x$ ni $y$ pertenece a $\mathfrak p$, luego $xy$ no está dentro $\mathfrak p$.

Primero tendrás que demostrar que, con esta hipótesis sobre $x$ y $y$, existe un ideal primordial $\mathfrak p_i$ en la cadena que no contiene ni $x$ ni $y$.

Un último comentario : para mostrar la existencia de ideales primos mínimos, debe considerar una familia de ideales primos totalmente ordenada (por inclusión) , no una mera secuencia. No tiene ninguna razón para suponer que esta familia sea contable.

Answer 2

La mejor forma de argumentar esto es darse cuenta de que $\mathscr{Spec}(A)$está ordenado inductivamente por el dual de la inclusión (de modo que podamos aplicar el lema de Zorn). De manera más general, considere un subconjunto$\mathscr{M} \subseteq \mathscr{Spec}(A)$que está dirigido hacia arriba con respecto al dual de inclusión o, de manera equivalente, dirigido hacia abajo con respecto a la inclusión misma. Nuestro objetivo es demostrar que$\mathscr{M}$ tiene un límite superior con respecto al dual de inclusión, que equivale a un límite inferior con respecto a la inclusión en sí.

Ya que $A$ no es un anillo degenerado, $\mathscr{Spec}(A) \neq \varnothing$ no está vacío y cualquier ideal primo sirve como límite inferior en el caso particular $\mathscr{M}=\varnothing$.

Cuando $\mathscr{M} \neq \varnothing$, dejenos considerar $P\colon=\displaystyle\bigcap\mathscr{M}$y demostrar que es un ideal primordial. Como es la intersección no vacía de una colección de ideales adecuados, también debe ser un ideal adecuado. Asumir por contradicción que no fuera primo, lo que significaría la existencia de$a, b \in A \setminus P$ tal que $ab \in P$. Ya que ninguno$a$ son ni $b$ están en la intersección de todos los miembros de $\mathscr{M}$, deben existir ideales $Q, R \in \mathscr{M}$ tal que $a \notin Q$ y $b \notin R$. Ya que$\mathscr{M}$ está dirigido por donward con respecto a la inclusión, existe $T \in \mathscr{M}$ tal que $T \subseteq Q, R$.

Ya que $ab \in P \subseteq T$ y $T$ es primordial, debemos tener $a \in T$ o $b \in T$ que llevan a $a \in Q$ o $b \in R$, las cuales son contradicciones.

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Observación: no he argumentado en este nivel de generalidad anterior, pero la misma afirmación sigue siendo válida para anillos arbitrarios no degenerados (no se requiere la suposición de conmutatividad).