Ayudar a comprender un proceso de Poisson

Question

solo uno rápido (presumiblemente). Solo estoy tratando de entender algunas cosas:

Dejar $N_{t},t\geq 0$ser un proceso de conteo. entonces decimos que un proceso de conteo es un proceso de Poisson de intensidad$\lambda$ Si

• las variables aleatorias $N_{t+s} - N_{t}$ es independiente de $\{N_u, 0 \leq u \leq t\}$ para todos $s,t \geq 0$
• La variable aleatoria $(N_{t+s} - N_{t}) \sim Pois(\lambda s)$

Esta definición es equivalente a: $\forall t \geq 0:$

• $P(N_{t+h} - N_{t} = 1) = \lambda h + o(h)$
• $P(N_{t+h} - N_{t} = 0) = 1 - \lambda h + o(h)$
• $P(N_{t+h} - N_{t} = 2) = o(h)$

lo que, a mi entender, nos dice que el proceso solo puede incrementarse en uno durante cada paso de tiempo. (tercer punto). Que la probabilidad de aumentar en uno viene dada por nuestra intensidad multiplicada por cuánto tiempo estamos en este intervalo de tiempo. y el segundo punto es obviamente nuestro cumplido.

Luego, hablamos de tiempos de incremento (que creo que son los mismos que los tiempos de espera) $T_{1},T_{2},\cdots$ entonces decimos que $T_n = \inf\{t\geq 0: N_{t} \geq n \}$ Es decir, la primera vez que superamos algún valor especificado (n)

luego los tiempos entre llegadas $(T_{n+1}-T_{n}) \sim \exp(\lambda)$

Entonces ... de mi entendimiento entonces; $T_{n}$ es el momento en el que hemos contado un número mayor que n. y $T_{n+1}-T_{n}$ Cuánto tiempo se tardó en llegar desde el estado anterior?

Si es así, digamos que especificamos algún proceso. ¿Tomaríamos algún valor de nuestro proceso de Poisson, luego esperaríamos una cantidad de tiempo determinada por un proceso exponencial, luego tomaríamos algún valor de nuestro proceso de Poisson?

así será. Valor de tiempo exponencial 1: - cuenta 1 - valor de tiempo exponencial 2 - cuenta 2 ... y así sucesivamente.

Answer 1

En el mejor de los casos, es bastante impreciso decir "el proceso sólo puede incrementarse en uno durante cada paso de tiempo", porque

• este es un proceso de tiempo continuo, por lo que no hay "pasos de tiempo", y
• no hay un intervalo de tiempo tan corto que los procesos no puedan incrementarse en más de uno durante ese intervalo de tiempo; más bien, incrementar en más de uno es altamente improbable, incluso en comparación con el muy improbable evento de un incremento durante un minúsculo intervalo de tiempo.

Sin embargo, el proceso se puede incrementar solo en uno cada vez que se incrementa.

Uno debe saber la diferencia entre dos palabras diferentes: "complemento" (con una "i") y "complemento" (con una "e"). Si digo que su publicación es brillante, es un cumplido (con una "i"). El complemento (con una "e") de XYZ es lo que sea necesario agregar a XYZ para completarlo . El hecho de que se utilice una "e" en la misma posición dentro de la palabra tanto en "complemento" como en "completo" no es una mera coincidencia.