Bolas en el espacio de Hilbert
Recientemente noté un hecho interesante que lleva a una pregunta quizás difícil. Si$n$ es un número natural, vamos $k_n$ ser el número más pequeño $k$ tal que una bola abierta de radio $k$ en un espacio real de Hilbert de dimensión suficientemente grande o dimensión infinita contiene $n$ bolas abiertas disjuntas por pares de radio 1. (La dimensión del espacio de Hilbert es irrelevante siempre que sea al menos $n-1$ ya que puede ser reemplazado por el subespacio afín atravesado por los centros de las bolas). $k_1=1$ y $k_2=2$, y es fácil ver que $k_3=1+\frac{2}{\sqrt{3}}\approx 2.1547$. El hecho interesante es que$k_n\leq 1+\sqrt{2}\approx 2.414$ para todos $n$, ya que en un espacio de Hilbert de dimensión infinita, una bola abierta de este radio contiene infinitas bolas abiertas disjuntas por pares de radio 1 [considere bolas centradas en puntos de base ortonormal]. Las preguntas obvias son: (1) ¿Qué es$k_n$? Esto puede ser conocido, pero parece difícil ya que está relacionado con el empaquetamiento de esferas. (2) es$k_n$ incluso estrictamente aumentando en $n$? (3) es$k_n<1+\sqrt{2}$ para todos $n$, o son iguales para lo suficientemente grande $n$? (4) ¿Es cierto que$\sup_n k_n=1+\sqrt{2}$? Ni siquiera es completamente obvio que$k_n$ existe para todos $n$, es decir, que hay un menor $k$ para cada $n$, pero debería haber algún argumento de compacidad que demuestre esto. Me parece interesante que los números$1+\frac{2}{\sqrt{3}}$ y $1+\sqrt{2}$están tan cerca, pero el comportamiento de las bolas es dramáticamente diferente. Supongo que la pregunta también es interesante en espacios de Hilbert de dimensiones más pequeñas: dejemos$k_{n,d}$ ser el mas pequeño $k$ tal que una bola abierta de radio $k$ en un espacio de dimensión de Hilbert $d$ contiene $n$ bolas abiertas disjuntas por pares de radio 1. Luego $k_{n,d}$ se estabiliza en $k_n$ para $d\geq n-1$. Que es$k_{n,d}$? (Esto puede ser mucho ms difcil ya que es prcticamente la pregunta de empaquetamiento de esferas si$n>>d$.)
Respuestas
Por conveniencia de la notación, déjame escribir la expectativa $\mathop{\mathbb{E}}_i t_i$ para denotar el promedio $(\sum_{i=1}^n t_i)/n$.
Si entiendo tu construcción correctamente, tienes bolas de radio disjuntas $1$ centrado en $x_i = \sqrt{2} e_i$ contenido en una bola de radio $1+\sqrt{2}$ centrado en $y = 0$. Esta construcción, que coloca$n$ bolas apretadas en los vértices de un simplex regular, es óptimo en términos de las posiciones $x_i$. Para obtener el límite óptimo exacto para su problema, debe elegir$y=\mathop{\mathbb{E}}_i x_i$ para obtener el radio $$\boxed{k_n = 1+\sqrt{2 (1-1/n)}}.$$
La afirmación de que colocar el $x_i$ en los vértices de un regular $(n-1)$-simplex y $y$en el centroide de este simplex es óptimo, se ha probado muchas veces antes en muchos contextos diferentes. Por ejemplo, está implícito en un límite conocido por varias subcadenas del " límite simple de Welch-Rankin " en la teoría de marcos. Aquí hay una prueba directa simple:
Por la desigualdad del triángulo, una bola de radio $1+r$ centrado en $y$ contiene una bola de radio $1$ centrado en $x_i$ si $\lVert x-y\rVert \le r$. Dos bolas de radio$1$ centrado en $x_i$ y $x_j$ son disjuntos si $\lVert x_i - x_j \rVert \ge 2$. Por lo tanto, su problema pide minimizar$1 + \max_i \lVert y-x_i\rVert$ sujeto a $\min_{i\ne j} \lVert x_i - x_j\rVert \ge 2$.
Trabajar con distancias cuadradas es más fácil. La distancia máxima al cuadrado$\max_i \lVert y-x_i\rVert^2$ es seguramente al menos el promedio $\mathop{\mathbb{E}}_i \lVert y-x_i\rVert^2$. Este promedio se minimiza cuando$y$ es en sí mismo el promedio $\mathop{\mathbb{E}}_i x_i$, en cuyo caso es igual $\mathop{\mathbb{E}}_i \mathop{\mathbb{E}}_j \lVert x_i-x_j\rVert^2/2$. Cada término donde$i=j$ contribuye $0$ a esta expectativa, mientras que cada término donde $i\ne j$ contribuye al menos $2$, por lo que, en general, esta expectativa es al menos $2(n-1)/n$. Así, la distancia máxima al cuadrado$\max_i\lVert y-x_i\rVert^2$ Por lo menos $2(n-1)/n$ y por lo tanto $1+r \ge 1+\sqrt{2(n-1)/n}.$ Podemos comprobar que la configuración óptima mencionada anteriormente logra este límite ya sea mediante cálculo directo o notando que logra la igualdad en cada paso de nuestro argumento.