Calcular el área de una forma

Question

Considere cuadrado $1\times 1$ que ha sido atravesado por dos pares de líneas

Sabiendo que el área de la figura roja es igual $\frac{1}{m}$ y $m,n\in \mathbb{N_+}$:

a) calcular $n$ Si $m=1985$

b) calcular el conjunto de todos los valores posibles de $m\in \mathbb {N}$ tal que $m>1985$, para lo cual a) se puede resolver.

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Obviamente, primero intenté calcular la función $f(n)$ que calcula el área del rombo rojo.

Introduje dos nuevas variables: $\alpha$ (ver imagen) y $a$ - longitud del lado del rombo, y escribió las siguientes ecuaciones: $$ \tan\alpha =\frac{1-\frac{1}{n}}{1}=\frac{n-1}{n} $$ y: $$ \cos\alpha =\frac{a}{\frac{1}{n}}=an $$

El cuadrado rojo es un rombo, por lo que su área es: $$ f(n)=a^2 \sin (180-2\alpha)=a^2 sin(2\alpha)=(\frac{\cos\alpha}{n})^2 \cdot 2\sin \alpha \cos \alpha=2\frac{\cos ^3 \alpha \sin \alpha}{n^2} $$

Desafortunadamente, no sé cómo continuar, así que le pido su ayuda.

Answer 1

Insinuación: $\alpha+\beta=90^\circ$, por lo tanto $KLMN$ es un cuadrado.

\begin{align} n(m) &= \tfrac12+\tfrac12\sqrt{2m-1},\\ n(1985)&=32\end{align}