Calcular una integral de 2 variables: cambiar el orden de integración
Tengo que calcular esta integral:
$$\int_0^1 dy \int_{\sqrt{y}}^{1} e^{\frac{y}{x}} dx$$
Porque no hemos aprendido a calcular $\int e^{a}{x} dx$ (porque tiene algo con función gamma, etc.) me hace pensar solo en una opción y es cambiar $dx \Leftrightarrow dy$
$\sqrt{y} = x \Rightarrow y = x^2$
y por lo tanto $$ \int_0^1 dx \int_{x^2}^1 e^{\frac{y}{x}}dy = \int_0^1 dx (\frac{1}{x}e^{\frac{1}{x}} - \frac{1}{x}e^x)$$
Lo que nuevamente me lleva a esta función gamma .. ($\Gamma$...) y no sabemos cómo trabajar con él (no en nuestro plan de estudios)
¡¡Cualquier ayuda sería apreciada!! ¡Gracias!
Respuestas
Estuvo en lo correcto al intercambiar el orden de integración.
Tenga en cuenta que la región de integración abarca desde $\sqrt y\le x\le 1$ con $y\in [0,1]$. Esta es la misma región que la región$0\le y\le x^2$ con $x\in [0,1]$. Por lo tanto, tenemos
$$\begin{align} \int_0^1\int_{\sqrt y}^1 e^{y/x}\,dx\,dy&=\int_0^1\int_0^{x^2} e^{y/x}\,dy\,dx\\\\ &=\int_0^1 \left(xe^x-x\right)\,dx \end{align}$$
Y ahora puedes terminar con esto.