Calcular una integral de 2 variables: cambiar el orden de integración

Aug 18 2020

Tengo que calcular esta integral:

$$\int_0^1 dy \int_{\sqrt{y}}^{1} e^{\frac{y}{x}} dx$$

Porque no hemos aprendido a calcular $\int e^{a}{x} dx$ (porque tiene algo con función gamma, etc.) me hace pensar solo en una opción y es cambiar $dx \Leftrightarrow dy$

$\sqrt{y} = x \Rightarrow y = x^2$

y por lo tanto $$ \int_0^1 dx \int_{x^2}^1 e^{\frac{y}{x}}dy = \int_0^1 dx (\frac{1}{x}e^{\frac{1}{x}} - \frac{1}{x}e^x)$$

Lo que nuevamente me lleva a esta función gamma .. ($\Gamma$...) y no sabemos cómo trabajar con él (no en nuestro plan de estudios)

¡¡Cualquier ayuda sería apreciada!! ¡Gracias!

Respuestas

3 MarkViola Aug 18 2020 at 19:33

Estuvo en lo correcto al intercambiar el orden de integración.

Tenga en cuenta que la región de integración abarca desde $\sqrt y\le x\le 1$ con $y\in [0,1]$. Esta es la misma región que la región$0\le y\le x^2$ con $x\in [0,1]$. Por lo tanto, tenemos

$$\begin{align} \int_0^1\int_{\sqrt y}^1 e^{y/x}\,dx\,dy&=\int_0^1\int_0^{x^2} e^{y/x}\,dy\,dx\\\\ &=\int_0^1 \left(xe^x-x\right)\,dx \end{align}$$

Y ahora puedes terminar con esto.