Cambio de base y dimensión de subespacios

Question

Estoy tratando de entender algunos conceptos básicos aquí. Tengo un subespacio vectorial$\mathcal{V}$ y $\mathcal{W} = \{Ax \mid x \in \mathcal{V}\}$, dónde $A$es una matriz ortogonal. ¿Es siempre cierto que$\dim(\mathcal{W}) = \dim(\mathcal{V})$? Si$\{v_1, v_2, \dots, v_k\}$ es una base de $\mathcal{V}$, ¿cómo podemos encontrar una base de $\mathcal{W}$?

Answer 1

Es suficiente asumir que $A$ es invertible, que es una matriz ortogonal, para concluir $W=A(V)$ tiene la misma dimensión que $V$.

Es porque ambos $A$ y $A^{-1}$ toma cualquier conjunto de vectores linealmente independientes a un conjunto linealmente independiente.

Suponer $v_1,\dots,v_k$ son independientes y $\sum_i\lambda_i\,Av_i=0$, luego aplica $A^{-1}$ para obtener $\sum_i\lambda_iv_i=0$ así que cada $\lambda_i=0$.

Answer 2

Asumiré que está trabajando con subespacios de dimensión finita.

• En general, si $W$ es un subespacio de $V$ y $\dim (W) = \dim (V)$, luego $W = V$, entonces cualquier base de $V$ es una base de $W$.
• Tú has definido $W$ como el espacio de columna de $A$ (tramo de las columnas de $A$). Si las columnas de$A$ son linealmente independientes, entonces la dimensión de $W$ es el número de columnas de $A$. En su situación específica,$A$ es una matriz cuadrada invertible (porque es ortogonal) con $\dim(V)$ columnas así $\dim(W) = \dim(V)$.