$\cap_{n=1}^{\infty}A_n$ e infinito
Una pregunta:
- Si la definición de $\cap_{n=1}^{\infty}A_n=\{x\in A_i\forall n\in N\}$ y no está vacío, entonces ¿significa que sus elementos pertenecen a la intersección infinita de $A_n$ o cualquier intersección finita de $A_n$ para todos los números naturales?
Para desarrollar más, me gustaría mostrar cómo me siento con esta notación confusa $\cap_{n=1}^{\infty}A_n$.
Comprensión del análisis Steven Abbott
Ejemplo 1.2.2 en el que define $A_i = \{x\in N: x\geq i\}$. Por inducción, no está vacío para cada intersección finita. Pero una prueba por contradicción puede mostrar que cuando va al caso infinito , que usa la notación$\cap_{n=1}^{\infty}A_i$, es un conjunto nulo. En otras palabras, en este ejemplo, esta notación se usa para intersección infinita.
Teorema 1.4.1 en el que prueba la propiedad del intervalo anidado. $I_n = \{x\in R: a_n\leq x\leq b_n\}$. Aquí, no especifica si se trata de una intersección infinita o no. En cambio, dijo,$\exists x\forall n\in N x\in I_n$. De ahí que$x\in\cap_{n=1}^{\infty}A_n$. En otras palabras, en este ejemplo, esta notación se usa para cada número natural finito
El teorema 1.5.8 dice si$A_n$ es un conjunto contable para cada $n\in N$, entonces $\cup_{n=1}^{\infty}A_n$es contable. En otras palabras, en este ejemplo, esta notación se usa para intersección infinita.
Estoy confundido por esta notación en el sentido de que la notación incluye el signo de infinito, pero su definición significa cada número natural. Por lo tanto, cada vez que lo veo, simplemente no sé cuál aplicar.
Di si voy por la dirección en la que es aplicable $\forall n\in N$, entonces la inducción debería funcionar porque la inducción está haciendo exactamente lo mismo. Sin embargo, esta publicación sugiere lo contrario al decir que la notación se trata de infinito .
Bien, cambio de dirección en la que se trata de una intersección infinita. Pero luego, en algunos casos, por ejemplo, el que mencioné anteriormente, de alguna manera, si algo es aplicable para todos los números naturales, está bien ser parte de esta notación.
Entonces, en resumen, siento que esta notación tiene 2 significados en conflicto
- $\forall n\in N$
- infinito
He investigado y hecho preguntas antes, pero todavía no entiendo. Así que supongo que me equivoqué y confundí algunas definiciones.
Respuestas
$\bigcap_{n=1}^\infty A_n$es un conjunto. ¿Qué conjunto? El conjunto de todas las cosas que pertenecen a cada uno de los conjuntos.$A_n$ para $n\in\Bbb Z^+$. Dejar$\mathscr{A}=\{A_n:n\in\Bbb Z^+\}$; entonces$\bigcap\mathscr{A}$ significa exactamente lo mismo. $\bigcap_{n=1}^\infty A_n$ es simplemente una notación habitual que significa ni más ni menos que $\bigcap_{n\ge 1}A_n$, $\bigcap\mathscr{A}$y $\bigcap\{A_n:n\in\Bbb Z^+\}$. No hay$A_\infty$: la $\infty$ es solo una señal de que el índice $n$ es asumir todos los valores enteros positivos.
Suponga que para cada número real positivo $x$ Yo dejo $I_x$ ser el intervalo abierto $(-x,x)$. Entonces$\bigcap_{x\in\Bbb R^+}I_x$es el conjunto de todos los números reales que pertenecen a cada uno de estos intervalos abiertos. Si$\mathscr{I}=\{I_x:x\in\Bbb R^+\}$, entonces
$$\bigcap\mathscr{I}=\bigcap_{x\in\Bbb R^+}I_x=\bigcap_{x\in\Bbb R^+}(-x,x)=\{0\}\,.$$
¿Cómo puedo saber? Si$y\in\Bbb R\setminus\{0\}$, entonces $y\notin(-|y|,|y|)=I_{|y|}$, por lo que hay al menos un miembro de $\mathscr{I}$ que no contiene $y$, y por lo tanto por definición $y$ no está en la intersección de los conjuntos en la familia $\mathscr{I}$. Por otra parte,$0\in(-x,x)=I_x$ para cada $x\in\Bbb R^+$, entonces $0$ está en la intersección$\bigcap\mathscr{I}$.
En ningún caso hemos utilizado la inducción en ningún lado. En el caso de los conjuntos$A_n$ podríamos utilizar la inducción en $n$ para mostrar que cada uno de los conjuntos $A_n$ tiene alguna propiedad $P$, pero no pudimos extender esa inducción para demostrar que $\bigcap\mathscr{A}$ tiene $P$. De alguna manera podríamos utilizar el hecho de que cada$A_n$ tiene propiedad $P$ para mostrar que $\bigcap\mathscr{A}$ también tiene $P$, pero eso requeriría un argumento separado; no sería parte de la inducción. El argumento de inducción en ese caso probaría que
$$\forall n\in\Bbb Z^+(A_n\text{ has property }P)\,;$$
el argumento separado mostraría entonces, usando ese resultado y otros hechos, que el conjunto único $\bigcap\mathscr{A}$ tiene propiedad $P$. Podrías llamar a este conjunto$A_\infty$si quisiera hacerlo, pero sería solo una etiqueta; también podrías llamarlo$A$o $X$, o incluso $A_{-1}$, aunque no puedo imaginar por qué querrías usar esa última etiqueta.
En el caso de los conjuntos $I_x$ no hay posibilidad de utilizar la inducción para demostrar que cada $I_x$ tiene alguna propiedad: estos conjuntos no se pueden enumerar como $I_1,I_2,I_3$, y así sucesivamente, porque son innumerables. Todavía podemos probar cosas sobre el set.$\bigcap\mathscr{I}$, sin embargo. Y podríamos ponerle cualquier etiqueta conveniente.$\bigcap\mathscr{I}$es informativo pero quizás un poco inconveniente; Podría optar por darle la etiqueta más práctica$I$.
En el caso de $\mathscr{A}$ sucede que hay una notación habitual que usa el símbolo $\infty$, pero eso es simplemente una consecuencia del hecho de que los conjuntos $A_n$están indexados por números enteros. Estamos haciendo exactamente el mismo tipo de cosas en el ejemplo con$\mathscr{I}$, pero en ese caso no hay posibilidad de utilizar un límite de $\infty$ en la intersección, porque no hay forma de indexar los incontables conjuntos $I_x$ por enteros.