¿Caracterización de C*-álgebras de dimensión finita?

Aug 18 2020

$\DeclareMathOperator\Spec{Spec}$Dejar$A$ser de dimensión finita$*$-álgebra sobre$\mathbb C$.
(Es decir, un álgebra asociada equipada con una involución$*:A\to A$satisfactorio$(ab)^*=b^*a^*$y$(\lambda a)^*=\bar\lambda a^*$.)

Suponga que para$\forall a\in A$tenemos$\Spec(a^*a)\subset\mathbb R_+$.
¿Se sigue que$A$Qué es un C*-álgebra?

Aquí, el espectro$\Spec(x)$de un elemento$x$es el conjunto de escalares$\lambda\in \mathbb C$tal que$x-\lambda$no es invertible.

Respuestas

7 Ruy Aug 18 2020 at 03:54

Dejar$V$ser un espacio vectorial complejo equipado con una operación de estrella antilineal involutiva (por ejemplo, un álgebra C* cuya multiplicación se ha olvidado). Equipar$V$con la multiplicación idénticamente cero, a saber$xy=0$para todos$x$y$y$en$V$. Entonces la unificación de$V$es un contraejemplo. De hecho, cada elemento$a$de$V$es nilpotente entonces$\text{spec}(a) = \{0\}$. En consecuencia, el espectro de cualquier elemento de la forma$a-\lambda$es$\lambda$desde donde se comprueba fácilmente la condición requerida.

Sin embargo$a^*a=0$para cada$a$en$V$, asi que$\tilde V$posiblemente no puede ser un C*-álgebra.