Cierta subálgebra de $sl(3,\mathbb{C})$ como un $sl(2,\mathbb{C})$ módulo

Question

Demuestre que el subespacio de $sl(3,\mathbb{C})$ que consta de matrices de la forma $$ A = \left( \begin{matrix} * & * & 0 \\ * & * & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) $$

es isomorfo a $sl(2,\mathbb{C})$.

Por tanto, podemos considerar $sl(3,\mathbb{C})$ como módulo para $sl(2,\mathbb{C})$ con la acción dada por $x \cdot y = [x,y]$ para $x \in sl(2,\mathbb{C})$ y $y \in sl(3,\mathbb{C})$. Muestre eso como un$sl(2,\mathbb{C})$ módulo

$$sl(3,\mathbb{C})=V_2 \oplus V_1 \oplus V_1 \oplus V_0$$

Dónde $V_i$ es el espacio de todos los polinomios homogéneos de grado $i$ en $\mathbb{C}[X,Y]$, es decir, el único (hasta isomorfismo) irreductible $(i+1)$-representación dimensional de $sl(2, \mathbb C)$.

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Bien, entonces para este problema el isomorfismo entre $A$ y $sl(2,\mathbb{C})$es el obvio. También entiendo bastante bien cómo esto muestra que$sl(3,\mathbb{C})$ es un $sl(2,\mathbb{C})$ módulo.

¿Cómo muestro la descomposición en módulos irreducibles? Ayuda apreciada, gracias!

Answer 1

Muestra si dejas $A$ actuar (es decir, tomar paréntesis $[A,X]$ con $X$ de) los subconjuntos

$$ \left( \begin{matrix} * & * & 0 \\ * & * & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right), \left( \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ * & * & 0 \end{matrix} \right) , \left( \begin{matrix} 0 & 0 & * \\ 0 & 0 & * \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right), \left( \begin{matrix} x & 0 & 0 \\ 0 & x & 0 \\ 0 & 0 & -2x \end{matrix} \right) $$

de $sl(3, \mathbb C)$respectivamente, cada uno es a) estable yb) irreductible bajo la acción. (Eso es casi trivial (juego de palabras) para el último, y básicamente debes haberlo demostrado para el primero cuando probaste$A \simeq sl_2$.)

Ahora bien, si se siente cómodo utilizando el hecho de que irreductible $sl_2$-Las representaciones son únicas hasta iso en cada dimensión, ya está, porque las dimensiones de los espacios anteriores son $3,2,2,1$respectivamente. Como prueba de cordura y recordatorio de la teoría del mayor peso, también puede comprobar que el elemento

$$h= \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) $$

actúa con valores propios $2,0-2$ en el primero, con valores propios $1,-1$ en el segundo y tercero, y con valor propio $0$ en el cuarto.