¿Cómo escribir de forma compacta estas desigualdades?

Question

Necesito ayuda con las notaciones. Supongamos que la desigualdad$$ 0\leq s_i\leq p_i p_j^{\ast} \quad\mbox{ for } i, j =1, 2 \mbox{ and } i\neq j$$ sostiene, donde $p^{\ast}$denotar el exponente crítico de Sobolev. Necesito escribir en "forma compacta" (quiero decir, como en la desigualdad anterior) las siguientes desigualdades$$ 1<s_3<p_1^{\ast}, \quad 1<s_4<p_2^{\ast}, \quad 1< s_5 <p_2^{\ast},\quad 1<s_6<p_1^{\ast}.$$

¿Podría alguien ayudarme por favor?

¡Gracias de antemano!

Answer 1

Vía interpolación polinomial: $$1<s_k<p^*_{(-k^2 + 9 k - 16)/2} \quad \text{for $k \ in \ {3,4,5,6 \}$}$$

Usando mod: $$1<s_k<p^*_{a_k} \quad \text{for $k \ in \ {3,4,5,6 \}$},$$ dónde $a_k=\begin{cases}1 &\text{if $k \ pmod 3 = 0$}\\2 &\text{otherwise} \end{cases}$