Cómo interpretar este límite q-binomial

Question

En el curso de Cousera sobre combinatoria enumerativa, el profesor afirma:

$\lim_{m\to\infty} \begin{bmatrix} m+n\\ n \end{bmatrix}_q = \lim_{m\to\infty}\frac{(1-q^{m+1})\cdot(1-q^{m+2})\cdots(1-q^{m+n})}{(1-q)\cdot(1-q^2)\cdots(1-q^n)} = \frac{1}{(1-q)\cdot(1-q^2)\cdots(1-q^n)}$.

Ahora, claramente, en un sentido de análisis convencional, esto está bien para $|q|<1$, pero aquí estamos tratando con series de potencias formales, y se pretende que el resultado sea válido para la variable formal $q$. De hecho, el lado izquierdo se puede considerar como la función generadora de los diagramas de Young que encajan en un rectángulo con ancho$n$ y altura infinita que coincide con el lado derecho, que es la función generadora de particiones en un máximo de $n$ sumandos.

Mi pregunta es, ¿cómo podemos entender este límite?

Answer 1

$\left(1-q^{m+1}\right)\cdot\left(1-q^{m+2}\right)\cdots\left(1-q^{m+n}\right) = 1 -q^mP(q),\text{ with } P\in\mathbb{Z}[q]$ entonces el límite es $1$ Para el $q$-topología ádica de $\mathbb{Z}[[q]]$

Answer 2

Para series de poder, la frase $\lim_{n\to\infty} f_n(q)=f(q)$ significa que, para todos $k\in \mathbb N$, existe un $N\in \mathbb N$ de modo que $$ n\ge N\implies [q^k]f_n(q)=[q^k]f(q) $$ En palabras, para cada $k$, el coeficiente de $q^k$ en $f_n(q)$ eventualmente debe coincidir con el coeficiente de $q^k$ en $f(q)$. Ya que$$ {n+m \brack n}_q=\frac{1-q^{m+1}+(\text{higher powers of }q)}{(1-q)\cdots(1-q^n)} $$ se sigue que la primera $m$ coeficientes de ${n+m \brack n}_q$ estará de acuerdo con el de $\frac1{(1-q)\cdots(1-q^n)}$.