¿Cómo llegar al resultado correcto para esta integral?

Aug 15 2020

Wolfram | Alpha es, hasta donde yo sé, el único sitio web que da la solución correcta a esta integral ,$$ f(x) = \frac{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2 \cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+2}+2}+2}}{\sqrt{x}} $$ $$ F(x) = \int f(x)\, dx$$ porque al derivar la función dada como resultado obtenemos la función original.

Esta es la solucion: $$ F(x) = \frac{1}{5} (-8) \sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1} \sqrt{\sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1}+2} \left(\sqrt{\sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1}+2}-2\right) \sqrt{\sqrt{\sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1}+2}+2} \csc \left(5 \sqrt{x}+4\right) + C $$

Sin embargo, en este video se da un resultado incorrecto aunque el proceso de integración parece correcto. Como se indicó anteriormente, sabe que el resultado es incorrecto ya que derivar la función resultante no da como resultado la función original que queríamos integrar.

Necesito llegar al resultado correcto, pero no sé cómo.

Respuestas

5 AniruddhaDeb Aug 15 2020 at 22:33

Como señala Ninad, esta es una solución parcial, equivalente al proceso utilizado en el video, que solo es válida si $$\cos\frac t2$$ es positivo .

Comience con esta identidad:

$$\sqrt{2+2\cos t} = \sqrt{4\cos^2\frac t2} = 2\cos\frac t2$$ Para aplicar esto al integrando, primero haz la sustitución $t = \sqrt x$, luego aplique sucesivamente esta propiedad. $$\begin{gather} I = \int\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + 2\cos(5t+4)}}}\cdot 2dt\\ = \int\sqrt{2 + \sqrt{2+2\cos\left(\frac{5t+4}{2}\right)}} \cdot 2 dt\\ = \int\sqrt{2 + 2\cos\left( \frac{5t+4}{4}\right)} \cdot 2dt \\ = \int 4\cos\left(\frac{5t+4}{8}\right) dt \\ = \frac{32}{5}\sin\left( \frac{5\sqrt x + 4}{8} \right) + C \end{gather}$$