¿Cómo podemos explicar el hecho de que $\mathbb E\left( {\mathbb E\left( {X|Y} \right)} \right) = \mathbb E(X)$? [duplicar]

Question

Sabemos que se cumple la siguiente propiedad condicional expectativa, suponiendo $\mathbb E[|X|]<\infty$:

$\mathbb E\left( {\mathbb E\left( {X|Y} \right)} \right) = \mathbb E(X)$

¿Alguien podría darme algo de intuición sobre esto? por qué cuando volvemos a tomar el valor esperado, conocer la variable aleatoria Y no afectará el valor esperado de X.

Answer 1

La intuición, es decir, olvidemos los espacios de rigor y probabilidad por un segundo, y desarrollemos una imagen de caricatura mental del concepto, es en realidad bastante sencilla:

Dentro del LHS de la ecuación $\mathbb E\left( {\mathbb E\left( {X|Y} \right)} \right) = \mathbb E(X)$ encontramos $\color{blue}{\mathbb E\left( {X|Y} \right)},$ que condiciona la expectativa de la variable aleatoria $X$ sobre el valor de la variable aleatoria $Y.$ Como tal, $ {\mathbb E\left( {X|Y} \right)}$ es en realidad una variable aleatoria, y una función de $Y.$ No es un número, sino una función medible ${\mathbb E\left( {X|Y} \right)}:Y \to \mathbb R.$ Mientras te deslizas por el dominio de $Y,$ la expectativa de $X$ cambios, siempre que sean dependientes.

Pero esta expresion $\color{blue}{\mathbb E\left( {X|Y} \right)}$ está más encerrado dentro del operador $ {\mathbb E\left( \cdot \right)},$ lo que significa que en realidad estamos buscando la expectativa (valor medio ponderado) en todos los valores de $Y.$ Al hacerlo, esencialmente estamos integrando y haciendo que los valores individuales de $Y$ irrelevante.

Gráficamente,

De nuevo, ¡solo una intuición!

Answer 2

No sé si estos diagramas le serán de alguna utilidad. Encuentro útil pensar en el condicionamiento como una transparencia sobre el espacio muestral.

Dejar $X_1, X_2$sean dos saltos de moneda justos e independientes. Denote el resultado de cabezas por$0$ y el resultado de colas por $1$. Dejar$S = X_1 + X_2$. El espacio muestral$\Omega$ tiene cuatro puntos: $\{(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)\} = \{\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4\}$,:

Primero considere la expectativa condicional interna, $Z = E[S | X_2]$. Tenga en cuenta que$Z$ es una variable aleatoria: para cada $\omega \in \Omega$, $Z(\omega)$es un número real. Es simplemente eso$Z(\omega)$ es constante en los sets $X_2^{-1}(\{0\}) = \{(0,0), (1,0)\} = \{\omega_1, \omega_3\}$ y $X_2^{-1}(\{1\}) = \{(0,1),(1,1)\} = \{\omega_2, \omega_4\}.$ En formato de diagrama,

¿Cuál es el valor constante de $Z$ cuando $X_2 = 0$? Es la probabilidad condicional de$S$ dado $X_2 = 0$, que es un promedio sobre el $\omega$está en el set $\{\omega : X_2(\omega) = 0\}$: $$E[S | X_2](\omega_1) = E[S|X_2](\omega_3) = 0.5.$$ Similar, $$E[S | X_2](\omega_2) = E[S|X_2](\omega_4) = 1.5.$$

Ahora que pasa cuando lo haces $E[E[S|X_2]]$? Promedio de nuevo . La regla$E[E[S|X_2]] = E[S]$ se puede leer (aproximadamente) como "el promedio de los promedios parciales es el promedio completo".