Cómo resolver$\frac{dx}{dt} = ax^2 + bx + c$?

Aug 20 2020

Ha pasado un tiempo desde que resolví las ODE analíticamente, pero esto parece una ODE no lineal de primer orden que es separable.

Cuando separo los términos, veo

\begin{align} \frac{1}{ax^2 + bx + c}dx = dt \\ \end{align}

El LHS será bastante difícil de evaluar. ¿Hay una solución simple a este problema que no estoy viendo?

Respuestas

3 AnindyaPrithvi Aug 19 2020 at 23:58

Para técnicas de integración sin utilizar$i$:

Si$ax^2+bx+c$tiene raíces reales repetitivas, entonces se puede escribir como$$\dfrac{1}{(jx+k)^2}$$que es una integración bien conocida, j y k son constantes y no merecen reconocimiento en esta respuesta.

Si$ax^2+bx+c$tiene raíces no reales repetitivas, entonces se puede escribir como$$\dfrac{1}{u} \dfrac{1}{x^2+v^2}$$que al integrarse da,$$\frac{1}{u}\cdot\frac{1}{v}\arctan\left(\frac{x}{v}\right)$$donde u y v son constantes.

Si$ax^2+bx+c$tiene distintas raíces reales, es fácil factorizarlas y escribir$$\frac{1}{ax^{2}+bx+c}=\frac{A}{f\left(x\right)}+\frac{B}{g\left(x\right)}$$donde A,B son constantes y f(x) y g(x) son funciones lineales. (los factores de la ecuación cuadrática). La forma resultante de lo anterior consistiría en logaritmos de la forma$$\frac{A}{p}\ln\left(f\left(x\right)\right)+\frac{B}{q}\ln\left(g\left(x\right)\right)+C_{onstant}$$donde p,q son los coeficientes de x en la expresión f(x) y g(x) respectivamente.

Sip$4ac-b^2>0$, entonces las raíces son imaginarias y el problema se puede resolver expresando$$\frac{1}{ax^{2}+bx+c}=\frac{1}{\left(h\left(x\right)\right)^{2}+d}$$donde h(x) es nuevamente lineal, d es una constante positiva , pero acabamos de completar todo el cuadrado.

La integral resultante resulta ser:$${\dfrac{2\arctan\left(\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}\right)}{\sqrt{4ac-b^2}}}+C_{onstant}$$

y si$d<0$, la integral es de forma$$\dfrac{1}{\left(ax+b\right)^2-r^2}$$cual es$$-\dfrac{\ln\left(\left|ax+r+b\right|\right)-\ln\left(\left|ax-r+b\right|\right)}{2ar}+C_{onstant}$$al momento de la integración.

Para técnicas de integración utilizando$i$:

Que sea una forma de la tercera$\text{if}$declaración en el cuerpo anterior y tratar$i$como una constante