Cómo $\sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty a_{ij} = \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty a_{ij}$ seguir del teorema de la convergencia monótona?

Aug 19 2020

En el análisis Real y Complejo de Rudin, dice que la igualdad

$$\sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty a_{ij} = \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty a_{ij}$$

para $a_{i,j} \ge 0$ se deduce de este corolario del teorema de convergencia monótono (a través de la medida de conteo en un conjunto contable):

Si $f_n: X \to [0, \infty]$ es medible y $f = \sum f_n$, luego

$$\int_X f =\sum_{n=1}^\infty \int_X fn $$

Sin embargo, me está costando ver esto. Supongo que usa funciones de indicador para cada punto en el conjunto contable, pero no veo ninguna manipulación obvia para que sea cierto. Cualquier ayuda sería apreciada.

Respuestas

2 KaviRamaMurthy Aug 20 2020 at 05:21

Dejar $X=\mathbb N$ y $S$ ser el conjunto de poder de $X$. Dejar$\mu$ ser la medida de cuenta en $X$. [$\mu(E)$ es el número de puntos de $E$ que se toma para ser $+\infty$ Si $E$ es un conjunto infinito].

Para cualquier función $g: X \to [0,\infty)$ tenemos $\int g d\mu= \sum\limits_{k=1}^{\infty} g(k)$.

Ahora toma $f_n(j)=\sum\limits_{i=1}^{n} a_{ij}$. Luego$f_n$ aumenta a la función $f$ definido por $f(j)=\sum\limits_{i=1}^{\infty} a_{ij}$. Por lo tanto$\int f_n d\mu \to \int f d\mu$. Esto da$\lim_n \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{\infty} a_{ij}=\lim_n \sum\limits_{j=1}^{\infty} \sum\limits_{i=1}^{n} a_{ij}=\lim_n \int f_n d\mu=\int f d\mu=\sum\limits_{j=1}^{\infty} \sum\limits_{i=1}^{\infty} a_{ij}$.