Comparación de conjuntos de primos gemelos con otros conjuntos. ¿Por qué hay un valor máximo y mínimo?
He tomado 2 conjuntos: el primero es una lista consecutiva del primer primo de pares de gemelos. El segundo es una lista consecutiva de números como sigue 1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, 1 + 2 + 3 + 4, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ....
Luego comparé entre las listas dividiendo los números de la segunda lista con los números de la primera lista, y se produce una tasa de distribución de crecimiento constante (como se ve en las imágenes a continuación).
Si analiza los datos (como se ve en las imágenes a continuación), notará que:
Si la fluctuación de la columna E es demasiado alta (generalmente por encima de 1,1), entonces el par de gemelos "siguiente" tendrá que ser más pequeño que el par "actual:", produciendo así un error.
También puede notar que la fluctuación de la columna E nunca es demasiado baja (probablemente no menos de 0,99 después de los primeros cientos).
El mismo fenómeno ocurre si reemplazo la Columna C con los cuadrados 1, 4, 9, 16,… o con un polinomio cuadrático arbitrario.
Al reemplazar la columna C con una constante igual a 1, el valor máximo nunca pasa de 1 (obviamente). Sin embargo, después de los primeros cientos, el valor mínimo de nuevo probablemente no sea inferior a 0,99
¿Alguien puede darme una explicación teórica de por qué podría ser esto?
Lista de los primeros 100.000 con columna C: 1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, 1 + 2 + 3 + 4 ....
Lista de los primeros 100.000 con la columna C: con los cuadrados 1,4,9,16,25 ...
Lista de los primeros 100.000 con columna C: constante = 1
Gracias.
Respuestas
¿Cuál es la motivación de esta maraña de cálculos?
Dejar $B_2=3,B_3=5,\cdots $sea su secuencia de "primer miembro de una pareja de primos gemelos". Por alguna razón, comenzando en el índice$2.$ No sabemos que se trata de una secuencia infinita, pero sospechamos firmemente que es con $B_n \approx k n (\ln n)^2$ por alguna constante $k.$ Hay conjeturas sobre $k$pero eso no importa aquí. Entonces, para una explicación plausible, podemos decir que$\frac{B_n}{B_{n-1}}$ es definitivamente mayor que $1$pero acercándonos a él a un ritmo medio constante. Quizás con$1<\frac{B_n}{B_{n-1}}<\frac{n+8}{n-1}.$ O, para ser especialmente imprudente, $\frac{B_n}{B_{n-1}} \approx \frac{n}{n-1}.$
Los números $E_n$ estás analizando son exactamente $\frac{B_n}{B_{n-1}}\frac{n-1}{n+1}$ así que ahí está tu explicación de por qué a veces están arriba $1$ y a veces por debajo, con convergencia a $1.$
Digresión: después de los primeros pares, cada miembro de la secuencia es $11,17$ o $29 \bmod 30.$Quizás esto introduzca un poco de grumosidad. No lo sé. Puede comprobar si el over vs under$1$ el comportamiento se correlaciona con la clase de congruencia $\bmod 30$ siendo $11$ vs $17$ o $29.$ Si es así, ¿este comportamiento parece continuar o desaparecer?
La secuencia $C_1=1,C_2=3,\cdots $ de números triangulares tiene $C_n=\frac{n(n+1)}2$ entonces $\frac{C_{n-1}}{C_{n}}=\frac{n-1}{n+1}$ exactamente.
Tu defines $D_n=\frac{C_n}{B_n}$ y luego, por $n \ge 3,$ $$E_n=\frac{D_n}{D_{n-1}}=\frac{B_n}{B_{n-1}}\frac{C_{n-1}}{C_n}=\frac{B_n}{B_{n-1}}\frac{n-1}{n+1}\approx\frac{n}{n-1}\frac{n-1}{n+1} \rightarrow 1$$
Si en lugar de primos gemelos usó primos, con $p_n \approx n\ln n,$los resultados deberían ser aproximadamente iguales, posiblemente menos entrecortados. Si en lugar de números triangulares usaras cuadrados, tendrías$\frac{(n-1)^2}{n^2}\approx \frac{n-2}{n}$ que esta muy cerca de $\frac{n-1}{n+1}$
Los pasos posteriores de agregar términos sucesivos de una columna anterior o tomar proporciones dan secuencias que convergen en una o crecen como $n.$