Computación de normas de mapas positivos

Question

Suponer $\Phi: S_n \to S_n$es un mapa lineal positivo sobre matrices simétricas. Como consecuencia del teorema de Russo-Dye sabemos que

$$\|\Phi\|=\|\Phi(I)\|$$

dónde $\|\cdot\|$es la norma del operador, es decir, la sección 2.5 aquí .

En cambio estoy interesado en $\|\cdot\|_1$, la norma de seguimiento (suma de valores singulares), ¿cómo calculo la norma del operador inducido en tal caso?

Answer 1

Supongo que, contrariamente a lo que indica su referencia, de hecho está interesado en un mapa que sea positivo sobre las matrices simétricas reales.

El enfoque de "fuerza bruta" para calcular la norma de seguimiento sería el siguiente. Dejar$E_{ij}$ denotar el tamaño $n$ matriz con una $1$ en el $i,j$entrada y ceros en otras partes. Definir$$ B_{ij} = \begin{cases} E_{ii} & i=j\\ \frac 1{\sqrt{2}}(E_{ij} + E_{ji}) & i \neq j. \end{cases} $$ Vemos eso $B_{ij}$ forma una base ortonormal en $S_n$ relativo al producto interior definido por $\langle A,B \rangle = \operatorname{tr}(AB)$. Dejar$\mathcal B$ denotar la base $\mathcal B = \{B_{ij} : 1 \leq i \leq j \leq n\}$, donde las tuplas $i,j$se toman en orden lexicográfico . Definir$f : \{(i,j): 1 \leq i \leq j \leq n\} \to \{1,\dots,n(n+1)/2\}$ para ser la función de conteo asociada, de modo que $$ f(1,1) = 1, \quad f(1,2) = 2,\dots, f(2,1) = n+1, \dots, f(n,n) = n(n+1)/2. $$ Dejar $M$ denotar el tamaño $n(n+1)/2$ matriz de $\Phi$ relativo a $\mathcal B$. Las entradas de$M$ satisfacer $$ M_{\phi(i,j),\phi(p,q)} = \langle \Phi(B_{ij}),\Phi(B_{pq})\rangle. $$ La norma de seguimiento de $\Phi$ es igual a la norma de seguimiento de $M$.