Confusión sobre el lema de Yoneda
Dejar $C$ ser una categoría y $F$ un pre-pan en $C$. El lema de Yoneda afirma que las transformaciones naturales$C(-, A)\Rightarrow F$ están en correspondencia uno a uno con los elementos de $F(A)$.
Para mí, esta afirmación se siente desmotivada. Sé que si consideramos el caso especial$F=C(-, B)$, luego (por el lema de Yoneda) $C(-, -)$ produce una incrustación (es decir, un functor completo y fiel) de $C$ en la categoría de pre-despegue en $C$. Esto se siente bastante motivado, ya que incrustar$C$ en la categoría de pre-despegue en $C$ se siente un poco como incrustar un campo $k$ en su cierre algebraico $\bar{k}$. Además, la categoría de pre-despegue también se siente más concreta que la categoría abstracta.$C$.
Pero, ¿por qué uno está interesado en la declaración general donde $F$puede ser cualquier pan previo. ¿Por qué es esta una declaración natural? ¿Cómo se tiene la idea de considerar el lema de Yoneda como se indicó anteriormente?
Tengo otra pregunta más sobre el lema de Yoneda. Como dije, uno tiene una incrustación de$C$ dentro $[C^\text{op}, \mathbf{Sets}]$ (la categoría de pre-despegue en $C$). Considerando functores covariantes$C\to\mathbf{Sets}$ en lugar de pretensiones, también se puede probar una versión covariante del lema de Yoneda, que establece que las transformaciones naturales $C(A, -)\Rightarrow F$ (para $F\colon C\to \mathbf{Sets}$ cualquier funtor) están en correspondencia uno a uno con los elementos de $F(A)$. De este se obtiene una incrustación de$C$ dentro $[C, \mathbf{Sets}]^\text{op}$.
Entonces, para resumir, uno puede incrustar $C$ en ambos $[C^\text{op}, \mathbf{Sets}]$ y $[C, \mathbf{Sets}]^\text{op}$. Pregunta: ¿Cómo$[C^\text{op}, \mathbf{Sets}]$ y $[C, \mathbf{Sets}]^\text{op}$ relacionarse entre sí?
Lo que encuentro un poco extraño sobre la situación: al principio, esperaba $[C^\text{op}, \mathbf{Sets}]$ y $[C, \mathbf{Sets}]^\text{op}$ser equivalente. Pero un hecho general es que$$[C, D]^\text{op}\cong [C^\text{op}, D^\text{op}],$$ así $$[C, \mathbf{Sets}]^\text{op}\cong[C^\text{op}, \mathbf{Sets}^\text{op}],$$ lo cual no es $[C^\text{op}, \mathbf{Sets}]$.
Respuestas
Aquí hay una posible respuesta a esta pregunta.
Tomemos el punto de vista de que los functores son representaciones de categorías.
Primero, ¿por qué es esto sensato?
Bueno, recuerde que las categorías son generalizaciones de monoides (y, en consecuencia, también grupos), ya que una categoría de un objeto es lo mismo que un monoide. Si$M$ es un monoide, entonces podemos definir una categoría, $C$, con un objeto, $*$, conjunto hom $C(*,*)=M$, y unidad y composición dada por la unidad y multiplicación en $M$. Por el contrario, dada una categoría de un objeto$C$, $C(*,*)$ es un monoide con composición como multiplicación, y estas construcciones son inversas entre sí.
De ahora en adelante, si $M$ es un monoide, o $G$ es un grupo, te escribiré $BM$ o $BG$ para la categoría de un objeto correspondiente.
Ahora, ¿qué pasa con los functors? Bueno, que son functors$[BG,k\newcommand\Vect{\text{-}\mathbf{Vect}}\Vect]$?
Bueno, tenemos que elegir un espacio vectorial $V$ mandar $*$ a, y tenemos que elegir un homomorfismo monoide $G\to \newcommand\End{\operatorname{End}}\End V$. Ya que$G$ es un grupo, esto es equivalente a un homomorfismo de grupo $G\to \operatorname{GL}(V)$. En otras palabras, functores de$BG$ a $k\Vect$ son exactamente iguales que las representaciones de grupos lineales, y puede comprobar que las transformaciones naturales de los functores corresponden exactamente a la $G$-Mapas lineales equivalentes.
Del mismo modo, cuando reemplazamos $k\Vect$ con $\newcommand\Ab{\mathbf{Ab}}\Ab$o $\newcommand\Set{\mathbf{Set}}\Set$, obtenemos $G$-módulos y $G$-conjuntos respectivamente.
En concreto, estos son todos izquierda $G$-acciones, desde un functor $F:BG\to \Set$ debe conservar la composición, por lo que $F(gh)=F(g)F(h)$, y definimos $g\cdot x$ por $F(g)(x)$. Así$(gh)\cdot x = g\cdot (h\cdot x))$.
Un functor contravariante $\newcommand\op{\text{op}}BG^\op\to \Set$ da un derecho $G$-acción, desde ahora $F(gh)=F(h)F(g)$, entonces si definimos $x\cdot g = F(g)(x)$, entonces tenemos $$x\cdot (gh) =F(gh)(x) = F(h)F(g)x = F(h)(x\cdot g) = (x\cdot g)\cdot h.$$
Por tanto, deberíamos pensar en functores covariantes $[C,\Set]$ como queda $C$-acciones en $\Set$, y deberíamos pensar en functores contravariantes $[C^\op,\Set]$ como correcto $C$-acciones en $\Set$.
Yoneda Lemma en contexto
Los precorridas representables ahora corresponden a objetos libres en una sola variable en el siguiente sentido.
El lema de Yoneda es que tenemos un isomorfismo natural $$ [C^\op,\Set](C(-,A),F)\simeq F(A)\simeq \Set(*,F(A)). $$
En otras palabras, $C(-,A)$ se parece mucho al adjunto izquierdo del functor "olvidadizo" que envía una gavilla $F$ a su evaluación en $A$, $F(A)$, pero evaluado en el conjunto singleton $*$.
De hecho, podemos convertir $C(-,A)$ en un adjunto izquierdo completo al señalar que $$\Set(S,F(A)) \simeq \prod_{s\in S} F(A) \simeq \prod_{s\in S}[C^\op,\Set](C(-,A),F) \simeq [C^\op,\Set](\coprod_{s\in S} C(-,A), F),$$ y $\coprod_{s\in S} C(-,A)\simeq S\times C(-,A)$.
Así, una forma de enunciar el lema de Yoneda es que $S\mapsto S\times C(-,A)$ se deja adjunto a la evaluación en $A$functor (en el sentido de que las dos declaraciones son equivalentes a través de una prueba corta). Por cierto, también hay un derecho adjunto a la evaluación en$A$functor, vea aquí el argumento.
Relacionar esto con nociones más familiares
Lo primero que hay que notar en este punto de vista es que ahora tenemos nociones de "libre sobre un objeto" en lugar de simplemente "libre". Es decir, tiendo a pensar en$C(-,A)$ como siendo la gavilla libre en una variable en $A$ (esta no es una terminología estándar, solo como yo la veo).
Ahora debemos tener cuidado, un objeto libre no es solo un objeto, es un objeto y una base . En este caso, nuestra base (elemento que genera libremente la gavilla) es el elemento identidad$1_A$.
Pensándolo de esta manera, la prueba del lema de Yoneda debería ser más intuitiva. Después de todo, la prueba del lema de Yoneda es la siguiente:
$C(-,A)$ es generado por $1_A$, ya que $f^*1_A=f$, para cualquier $f\in C(B,A)$, transformaciones tan naturales $C(-,A)$ a $F$ están determinados únicamente por el lugar al que envían $1_A$. (Análogo a decir$1_A$ tramos $C(-,A)$). Además, cualquier elección$\alpha\in F(A)$ de donde enviar $1_A$ es válido, ya que podemos definir una transformación natural "extendiéndose linealmente" $f=f^*1_A \mapsto f^*\alpha$ (esto es análogo a decir $1_A$ es linealmente independiente o forma una base).
La versión covariante del lema de Yoneda es exactamente la misma idea, excepto que ahora estamos trabajando con representaciones izquierdas de nuestra categoría.
Ejemplos del lema de Yoneda en contextos más familiares
Considere la categoría de un objeto $BG$, entonces el lema de Yoneda dice que la representación regular correcta de $G$ es el derecho libre $G$-conjunto en una variable (siendo el elemento base la identidad, $1_G$). (El libre en$n$-variables es la unión disjunta de $n$ copias de la representación regular correcta.)
La declaración de incrustación es ahora que $G$ se puede incrustar en $\operatorname{Sym}(G)$ vía $g\mapsto -\cdot g$.
Esto también funciona en contextos enriquecidos. Un anillo es precisamente una categoría de un objeto enriquecida en grupos abelianos, y el lema de Yoneda en este contexto dice que la acción correcta de$R$ sobre sí mismo (a menudo denotado $R_R$) es el derecho libre $R$-módulo en una variable, siendo la base el elemento unitario $1_R$. (El libre en$n$-variables es ahora la suma directa de $n$ Copias de $R_R$)
La declaración de incrustación aquí es que $R$ se puede incrustar en el anillo de endomorfismo de su grupo abeliano subyacente a través de $r\mapsto (-\cdot r)$.