¿Conmutan los endomorfismos de la representación adjunta de un álgebra de Lie?

Question

Dado un campo $k$ de característica $0$ y un álgebra de Lie simple de dimensión finita $\mathfrak{g}$ encima $k$. Considere la representación adjunta$(\mathfrak{g}, \mathrm{ad})$ de $\mathfrak{g}$ y deja $\mathrm{End}(\mathfrak{g}, \mathrm{ad})$ denotar el anillo de $\mathfrak{g}$-módulo de endomorfismos con respecto a esta representación.

El reclamo es: $\mathrm{End}(\mathfrak{g}, \mathrm{ad})$ es una extensión de campo de $k$ y $\dim_k\mathrm{End}(\mathfrak{g}, \mathrm{ad})$ es igual al número de componentes simples de $g \otimes_k \overline{k}$ dónde $\overline{k}$ denota el cierre algebraico de $k$.

He llegado hasta aquí: desde $\mathfrak{g}$es simple, la representación adjunta debe ser irreductible. Así,$\mathrm{End}(\mathfrak{g}, \mathrm{ad})$ es un $k$campo sesgado. Pero, ¿por qué todos los elementos de$\mathrm{End}(\mathfrak{g}, \mathrm{ad})$¿conmutar? Si$A, B \in \mathrm{End}(\mathfrak{g}, \mathrm{ad})$, se puede argumentar que $AB - BA$ es cualquiera $0$o invertible. Sin embargo, no pude descartar este último caso.

También: ¿Cómo están $\mathfrak{g} \otimes_k \overline{k}$ y $\mathfrak{g}$relacionado con respecto a la (semi)-simplicidad? Yo sé eso$\mathfrak{g}$ es semi-simple iff $\mathfrak{g} \otimes_k \overline{k}$es semi-simple. ¿Existe un resultado correspondiente para el caso simple?

Answer 1

$\DeclareMathOperator{\g}{\mathfrak g}$ $\DeclareMathOperator{\ad}{\mathrm{ad}}$ $\DeclareMathOperator{\End}{\mathrm{End}}$

Traté de dar una breve introducción a esta teoría en la sección 4.1 de mi tesis que generalmente sigue a Jacobson, N .: Una nota sobre álgebras no asociativas . Duke Math. J. 3 (1937), núm. 3, 544-548. doi: 10.1215 / S0012-7094-37-00343-0 . Aquí está la parte relevante para su pregunta:

Re primera pregunta :

Para $k$-Álgebra de mentiras $\g$ definir

$$K := K(\g) := \{ s \in \End_k(\g): s \circ \ad_{\g}(x) = \ad_{\g}(x) \circ s \text{ for all } x \in \g \}.$$

Lo vemos como asociativo $k$-álgebra y comentar que como tal se identifica con lo que llamas $\End(\g, \ad)$.

Si $\g$ es simple, entonces (como comentas) $K$ es un campo sesgado por el lema de Schur.

De hecho, es un campo; es decir, desde$\g = [\g, \g]$ basta con ver que dos elementos $s, t \in K$ conmutar en un conmutador $[x,y]$ para $x,y \in \g$. Pero$$ s(t([x,y])) = s([x, ty]) = [sx, ty] = t([sx, y]) = t(s([x,y])) $$ donde hemos utilizado, de izquierda a derecha, que $t$ se desplaza con $\ad_{\g}(x)$, $s$ con $-\ad_{\g}(ty)$, $t$ con $\ad_{\g}(sx)$ y $s$ con $-\ad_{\g}(y)$.

Uno llama $K$el centroide de$\g$ y comenta que $\g$ tiene una estructura natural como el álgebra de Lie sobre $K$. Cuando se ve como tal, escriba$^K \g$.

Sobre la segunda pregunta :

Primero, algo de notación. Para un álgebra de mentiras$\g$ encima $k$, dejar $A(\g)$ ser el (asociativo, unital) $k$-subálgebra de $\End_k(\g)$ generado por todos $\ad_{\g}(x)$, $x \in \g$. Observe de inmediato que para cualquier extensión de campo$L|k$, $a \otimes \ad_{\g}(x) \mapsto \ad_{\g_L} (a \otimes x)$ define un isomorfismo natural de asociativo $L$-álgebras:

$$(*) \qquad L \otimes_k A(\g) \cong A(\g_L)$$

También comenta que $\g$ es un (izquierda) $A(\g)$-módulo, y que un ideal de $\g$ es lo mismo que un $A(\g)$-submódulo.

Además, la inclusión $A(\g) \subseteq \End_k(\g)$ factores a través de mapas naturales $A(\g) \hookrightarrow \End_K(^K\g) \hookrightarrow \End_k(\g)$, y la primera flecha es biyectiva según el teorema de densidad de Jacobson. (¡El teorema está ausente en el artículo de Jacobson que cité anteriormente, ya que solo lo demostró ocho años después!) En consecuencia, los siguientes son equivalentes:

1. $\g$ es simple y $K = k$
2. $A(\g) = \End_k(\g)$.

En este caso llamamos $\g$ central simple . Entonces, por ejemplo$^K\g$ es central simple si $\g$es simple. Se sigue de$(*)$ que cada extensión escalar de un álgebra de Lie central simple es nuevamente central simple, a fortiori absolutamente simple (A Lie álgebra $\g$ encima $k$se llama absolutamente simple si$\g_{\bar k} := \g \otimes_k \bar k$ es simple terminado $\bar k$, o equivalente, $\g_K$ es simple terminado $K$ para cada extensión $K|k$.). Pero tenemos mucho más:

Proposición (4.1.2 en mi tesis): Sea$\g$ ser un simple álgebra de mentira y $L|k$ una extensión de Galois que contiene el centroide $K$. Entonces$\g_L \simeq \g_1 \times ... \times \g_r$ dónde $r = [K:k]$ y el $\g_i$ son álgebras de mentira absolutamente simples sobre $L$. En particular,$\g$ es central simple si y solo si es absolutamente simple.

Prueba : escritura$K = k[X]/(f)$ dónde $f$ es un polinomio mínimo de un elemento primitivo de $K|k$, tenemos $L \otimes_k K \cong \prod_{i=1}^r L_i$ (como $L$-álgebras) donde el $L_i$ son todos $L$ pero con un $L$-acción torcida a través de ciertos elementos $\sigma_i : L \simeq L_i$ del grupo Galois $Gal(L|k)$, permutando los ceros de $f \in L[X]$. En particular,$r = [K:k]$. Entonces con$(*)$, \begin{align*} A(\g_{L}) &\cong L \otimes_k \End_K(^K\g) \cong \End_{L\otimes_k K}((L \otimes_k K) \otimes_K (^K\g) ) \\ &\cong \End_{\prod_{i=1}^r L_i} (\bigoplus_{i=1}^r (^K\g)_{L_i}) \cong \prod_{i=1}^r \End_{L_i}((^K\g)_{L_i}). \end{align*} Vocación $e_i$ la $i$-th idempotente en el último producto, el $A(\g_L)$-módulo $e_i \cdot \g_L$ es un ideal simple $\g_i$ en $\g_L$, que es de hecho el simple $L$-Álgebra de mentira deducida de $(^K\g)_L$ por extensión escalar (es decir, torciendo el $L$-acción) con $\sigma_i$.