construyendo homotopía

Question

Dejar $X,Y$ ser espacios topológicos y $f,g:X \rightarrow Y$Ser mapas continuos. Suponer$f,g$ son homotópicos por una homotopía $H:X \times [0,1] \rightarrow Y$. Dejar$\gamma$ ser un camino en $Y$ con puntos finales $y_0=f(x_0)$ y $z_0=g(x_0)$ definido por $\gamma(t)=H(x_0,t)$.
Dejar$\alpha:[0,1] \rightarrow X$ ser un bucle en $X$ con $\alpha(0)=\alpha(1)=x_0$.
Quisiera mostrar que los caminos$f \circ \alpha$ y $\gamma \ast ((g \circ \alpha) \ast \bar{\gamma})$ son homotópicos de camino mediante la construcción de una homotopía $G:[0,1] \times [0,1] \rightarrow Y$.
Yo sé eso$\gamma$ induce un cambio de isomorfismo del punto base $T_{\gamma}:\pi_1(Y;z_0) \rightarrow \pi_1(Y;y_0)$ dada por $T_{\gamma}([\beta])=[\gamma \ast \beta \ast \bar{\gamma}]$ para todos $[\beta]\in \pi_1(Y;z_0)$.
No se como construir esta homotopia$G$ específicamente, pero sé que debe satisfacer lo siguiente: $$G(s,0)=(f \circ \alpha)(s)$$ $$G(s,1)=(\gamma \ast ((g \circ \alpha) \ast \bar{\gamma}))(s)$$ $$G(0,t)=(f \circ \alpha)(0)=(\gamma \ast ((g \circ \alpha) \ast \bar{\gamma}))(0)$$ $$G(1,t)=(f \circ \alpha)(1)=(\gamma \ast ((g \circ \alpha) \ast \bar{\gamma}))(1).$$

Answer 1

TEOREMA: Sea $h:X \to Y$ser una función continua. Si$α,β$ son caminos homotópicos en $X$ luego $hoα$ y $hoβ$ son homotópicos en $Y$.
Se nos da que existe un mapa continuo$H:X×I \to Y$ tal que $H(x,0)=f(x)$ y $H(x,1)=g(x)$.
Por lo tanto, para mostrar que los caminos$foα$ y $\gamma \ast (goα) \ast \hat \gamma$ son homotópicos tenemos que buscar caminos en $X×I$ tal que su imagen debajo de H sea $foα$ y $\gamma \ast (goα) \ast \hat \gamma$.
Dejar$c(t)=(x_0,t)$, $p(s)=(α(s),0)$, $q(s)=(α(s),1)$. Por lo tanto$p$ y $c \ast q \ast \hat c$son nuestros caminos requeridos.
Ahora deja$G:I×I \to X×I$ ser definido como $G(s,t)=(α(s),t)$. Ahora, si podemos encontrar caminos en$I×I$ tal que su imagen bajo G sea $p$ y $c \ast q \ast \hat c$ hemos terminado porque eso significa $p$ y $c \ast q \ast \hat c$son homotópicos.
Dejar$a(t)= (0,t)$, $b(s)=(s,1)$, $c(t)=(1,t)$ y $d(s)=(s,0)$.
Puede observarse que$d$ y $a \ast b \ast \hat c$son los caminos requeridos. Ahora que ambos caminos$d$ y $a \ast b \ast \hat c$ tienen el mismo punto inicial y terminal y desde $I×I$está simplemente conectado son homotópicos. Implica$p$ y $c \ast q \ast \hat c$ son homotópicos implica $foα$ y $\gamma \ast (goα) \ast \hat \gamma$ son homotópicos.