Contando suma de coeficientes binomiales

Question

Necesito contar la suma de coeficientes binomiales en la secuencia

${2020}\choose{0}$ - 2 ${2020}\choose{1}$ + 3${2020}\choose{2}$ + ... - 2020${2020}\choose{2019}$ + 2021${2020}\choose{2020}$

es decir, todos los multiplicadores pares son negativos y la suma es $\sum^{2020}_{r=0} (-1)^{r} (r + 1)$$ {2020} \ elija {r} $

Simplifiqué esta secuencia usando la regla de simetría para

$ {2020} \ elija {0} $ - 2 $ {2020} \ elija {1} $ + 3 $ {2020} \ elija {2} $ + ... - 1010 $ {2020} \ elija {2009} $ + 1011 $ {2020} \ elija {2010} $ +

2021 $ {2020} \ elija {0} $ - 2020 $ {2020} \ elija {1} $ + 2019 $ {2020} \ elija {2} $ + ... - 1012 $ {2020} \ elija {2009} PS

= 2022 $ \ sum ^ {1009} _ {r = 0} (-1) ^ r$${2020}\choose{r}$ + 1011${2020}\choose{1010}$

Ya que $\sum^{n}_{r = 0} (-1)^r$${n} \ elija {r} $ = 0,

= 2020 (0) + 1011 $ {2020} \ elija {1010} $

es decir, desde el último término hasta el término del medio, cambié la ecuación para igualar los coeficientes binomiales.

Sin embargo, el número que obtuve es tan grande que mi calculadora no puede procesarlo, así que no estoy seguro de cómo proceder y si este método es correcto.

Answer 1

Creo que estás en el camino correcto. Tenga en cuenta que no tiene$\sum_{r=0}^{2020}(-1)^r\binom {2020}r$, por lo que no puede hacer esa simplificación. Sin embargo, en lugar de reemplazar$\binom nr$ con $\binom n{n-r}$ para solo la mitad de la lista, ¿qué pasaría si intentara reemplazar la suma completa y luego agregar la suma original a la nueva suma?

Dado que esta respuesta ha sido más o menos ignorada, permítanme aclararla. Ya has determinado tu suma

$$k=\sum_{r=0}^{2020}(-1)^r(r+1)\binom{2020}r$$

Ahora usa $\binom{2020}r=\binom{2020}{2020-r}$ y sustituto $u=2020-r$ Llegar

$$k=\sum_{u=0}^{2020}(-1)^{2020-u}(2020-u+1)\binom{2020}u=\sum_{u=0}^{2020}(-1)^u(2021-u)\binom{2020}u$$

Por supuesto, el índice de la suma es solo un marcador de posición. Podemos reemplazar el$u$ con $r$ nuevamente y agregue término por término para obtener

$$2k=\sum_{r=0}^{2020}(-1)^r(2022)\binom{2020}r=2022(1-1)^{2020}=0$$

Answer 2

Esta suma se puede escribir como $$S=\sum_{k=0}^{n} (-1)^k (k+1){n \choose k}~~~~(1)$$El teorema del binomio: $$\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} (-x)^k=(1-x)^n~~~(2)$$ Da $$\sum_{k=0}^{n}(-1)^k {n \choose k}=0 ~~~(3)$$ D (1) wr t $x$ y pon $x=1$, de nuevo obtenemos $$\sum_{k=0}^{n} (-1)^k k {n \choose k}=0~~~~(4)$$ De (3,4) se sigue que $S=0$.

Answer 3

${(1+x)}^n=\binom{n}{0}+\binom{n}{1}x+\binom{n}{2}x^2..\binom{n}{n}x^n$

multiplica x en ambos lados

$x{(1+x)}^n=\binom{n}{0}x+\binom{n}{1}x^2+\binom{n}{2}x^3..\binom{n}{n}x^{n+1}$

ahora puedes reemplazar x por -x

$x{(1-x)}^n=\binom{n}{0}x-\binom{n}{1}x^2+\binom{n}{2}x^3..{(-1)}^n\binom{n}{n}x^{n+1}$

ahora puedes diferenciar wrt x en ambos lados y poner el valor $x=1$ para obtener su suma (aquí n = 2020)

Answer 4

Definir $f(x,y) = x(x+y)^{2020}$. Entonces la suma que buscas calcular es igual a$\frac{\partial f}{\partial x}(1,-1)$.