¿Cuál es la definición correcta de continuamente diferenciable?
Suponer $V$ y $W$ son espacios de Banach, $U\subset V$ está abierto, y $F:U\to W$es una función diferenciable. Entonces la derivada de$F$ es el mapa $$ DF:U\to B(V;W) $$ dónde $B(V;W)$ es el espacio de Banach de mapas lineales continuos $V\to W$.
Nosotros decimos eso $F$es de clase $\mathcal{C}^1$ en un punto $x_0\in U$ si el mapeo $$ U\ni x\mapsto DF(x) \in B(V;W) $$ es continuo en $x_0$; Nosotros decimos eso$F$es de clase $\mathcal{C}^1$ en $U$ Si $F$ es de clase $\mathcal{C}^1$ en cada punto de $U$.
Si $X$ es un subconjunto arbitrario del espacio de Banach $V$ y $f:X\to W$ es un mapa, entonces decimos que $f$es de clase $\mathcal{C}^1$ en $X$ si existe un subconjunto abierto $U$ de $V$ dónde $X\subset U$ y una función $F:U\to W$ de clase $\mathcal{C}^1$ en $U$ dónde $F|_X=f$. (De manera informal, podemos extender$f$ a un set abierto en el que es de clase $\mathcal{C}^1$.)
Vea esta respuesta para una función$f$que es continuamente diferenciable en un solo punto. Es decir, si$g(t)=t^2\sin(1/t)$ para $t\in\mathbb{R}$ entonces la función $$ f(t) = \sum_{n\geq 1} \frac{g(t-1/n)}{2^n} $$ es continuamente diferenciable en $t=0$. Sin embargo,$f$ tiene discontinuidades arbitrariamente cercanas al origen, por lo que $f$ no puede ser de clase $\mathcal{C}^1$ en cualquier conjunto abierto que contenga $0$.
Es decir, $f$ es una función que es de clase $\mathcal{C}^1$ a $0$, pero $f$ no es $\mathcal{C}^1$ en $\{0\}$.
Esto no me parece correcto. Por supuesto, no es "típico" que una función que encontramos se comporte de esta manera. Sin embargo, este ejemplo todavía me molesta. ¿Qué podemos hacer? ¿Podemos modificar ligeramente las definiciones anteriores para que esto no suceda? ¿La respuesta a la que hice referencia de alguna manera es incorrecta? (No pude probar los resultados que dijo ...)
Respuestas
Como yo lo sé, una función es $\mathcal C^1$ en un set $X\subseteq V$ si esto es $\mathcal C^1$ en el interior de $X$ y $\mathrm Df$ se puede ampliar continuamente a $X$. Con esta definición, su función de ejemplo sería$\mathcal C^1$ en $\{0\}$, ya que el interior de este conjunto está vacío, y cualquier función está vacía $\mathcal C^1$en el conjunto vacío. Pero esta definición solo es interesante en conjuntos con interior no vacío. El comportamiento de esta definición en conjuntos que no cumplen$X=\overline{X^\circ}$, me gusta $\{0\}$, es solo un artefacto divertido. Además, da como resultado funciones que son$\mathcal C^1$ en $\{0\}$, pero no $\mathcal C^1$ en $0$, entonces el dilema opuesto al que mencionas.
Por estas razones, generalmente es mejor restringirse a conjuntos abiertos o cierres de conjuntos abiertos y no preocuparse por $\mathcal C^1$-ness en conjuntos singleton. De todos modos, no arrojaría grandes conocimientos. Entonces una definición se leería como tal:
Dejar $U\subseteq V$estar abierto. Luego$\mathcal C^1(U,W)$ es el conjunto de todas las funciones continuamente diferenciables $U\to W$y $\mathcal C^1(\overline U,W)$ es el conjunto de todas las funciones continuas $f:\overline U\to W$ para cual $f\vert_U\in\mathcal C^1(U,W)$ tal que $\mathrm D(f\vert_U)$ se puede ampliar continuamente a $\overline U$.