¿Cuáles son las limitaciones del lenguaje de las matemáticas?
Me dijeron que las matemáticas no pueden expresar cualitativamente cuáles son los elementos de un conjunto, de modo que no se puede decir, por ejemplo, que los miembros de un conjunto son tigres blancos. Entonces, las matemáticas no pueden agregar detalles cualitativos a un concepto matemático o una instancia matemática. Me gustaría saber cuáles son algunas de las otras limitaciones del lenguaje de las matemáticas en comparación con el lenguaje escrito o hablado, como el inglés.
Respuestas
El lenguaje matemático es simplemente una forma más rigurosa de hablar sobre el mundo. No hay limitación a este respecto que no sería una limitación para cualquier idioma.
Que nadie sepa hoy cómo expresar matemáticamente los chistes, los juegos de palabras y la poesía no implica que no puedan expresarse matemáticamente. Hubo un tiempo en que nadie sabía expresar matemáticamente las probabilidades, por ejemplo, y mira ahora...
El hecho de que no haya poemas escritos en lenguaje matemático no implica que esto no se pueda hacer. Más bien, parece una consecuencia directa del hecho de que es un lenguaje especializado y que, por lo tanto, la mayoría de la gente no lo entiende lo suficientemente bien.
En cuanto a los chistes, he aquí uno, escrito en el lenguaje de la lógica formal:
(φ ⊃ ψ) → (φ → ψ)
En realidad es muy divertido, pero hay que entenderlo y muy pocas personas lo entienden.
Contrariamente a algunos comentaristas aquí, hay una gran diferencia entre las matemáticas y el lenguaje, a pesar del hecho de que cualquier oración obviamente puede traducirse a "información" matematizada.
Russell, los positivistas lógicos y otros se propusieron librar al lenguaje de sus turbias cualidades reduciendo tanto el lenguaje como las matemáticas a la lógica. Si bien el trabajo fue bastante fructífero, el proyecto en sí se consideró un fracaso, al menos como sistema completo. La ruptura entre el Wittgenstein temprano y el tardío ofrece un resumen dramático de este "fracaso", dada la naturaleza vasta, compleja, viva y performativa del lenguaje.
En primer lugar, el lenguaje es corpóreo, experiencial y principalmente oral. Comienza con vibraciones en el útero y continúa con la vida humana, los contextos físicos y la reproducción. Podemos transcribir palabras en alfabetos visuales, pero estos requieren un proceso de aprendizaje arduo y poco natural. No puede traducir estos signos visuales de nuevo al lenguaje sin acceso a las palabras habladas. Aparte de los pictogramas toscos, no se puede traducir o recuperar un "lenguaje muerto" como el Lineal A sin alguna relación, por indirecta que sea, con un idioma "hablado" vivo.
Esto sugiere que el lenguaje tiene el mismo tipo de irreversibilidad limitada en el tiempo que la vida misma, mientras que las matemáticas son "reversibles" y, por lo tanto, vacías de significado, si el "significado" tiene que ver, como dice Luhmann, con relaciones de lo real a lo posible. Las matemáticas intentan despojarse de tanto contenido experiencial como sea posible, mientras que el lenguaje es experiencia y siempre asume, por remota que sea, un hablante encarnado con una historia y un entorno particulares.
No podemos aprender matemáticas sin lenguaje, pero fácilmente aprendemos lenguaje sin matemáticas. En teoría, por supuesto, algunos podrían argumentar que la IA implicaría una matematización de las habilidades únicas del lenguaje humano que se mueven dentro y entre los cerebros. Pero una de las capacidades lingüísticas de los cerebros inteligentes es que se reproducen a sí mismos, mientras que es muy dudoso que las máquinas informáticas puedan reproducirse fuera de un entorno de reproducción humana.
Hay una distinción importante entre matemáticas puras y matemáticas aplicadas.
Las matemáticas puras se ocupan enteramente de verdades abstractas de la forma general "dadas ciertas condiciones formales iniciales o postulados, ¿cuáles son las consecuencias?" Por ejemplo, en un sistema axiomático, estas condiciones formales se dividen en primitivas , relaciones y axiomas que definen cómo se aplican las relaciones entre primitivas. Pero las primitivas y las relaciones no tienen un significado intrínseco.
Cuando se aplica algún significado a una primitiva, el ejercicio se convierte en uno de matemáticas aplicadas. A una disciplina matemática pura dada se le pueden atribuir muchos significados diferentes, cada uno de los cuales conduce a una rama diferente de las matemáticas aplicadas. Como David Hilbert comentó una vez apócrifamente sobre la geometría axiomática, uno podría perfectamente aplicar "puntos", "líneas" y "planos" a mesas, sillas y jarras de cerveza.
Así, las propiedades matemáticas de los elementos de un conjunto, como marcadores de posición primitivos, son el dominio de las matemáticas puras, mientras que las propiedades matemáticas de una jaula llena de tigres blancos son el dominio de las matemáticas aplicadas.
Hay muchas matemáticas sólidas detrás de los colores y la música. En teoría de conjuntos, se puede hablar de conjuntos con diferentes cardinales transfinitos por su número de colores.
La estructura lógica se puede diagramar, en general y para conceptos específicos.
Aún así, cubriría mis apuestas y simplemente diría que no sabemos si podemos asociar cada concepto relevante con su propia matematización, de una manera relevante. En los casos en los que el éxito no parezca inminente, puede ser que aún no hayamos resuelto el problema de la palabra, por así decirlo.