Cuando es el cono $C(X)$ en un espacio localmente compacto?
Hay algunas preguntas en este foro que tratan con casos especiales de esta pregunta, por ejemplo, esto para$X = \mathbb Z$y esto para$X = \mathbb R$. Mi pregunta es
¿Cuáles son las condiciones necesarias y suficientes en $X$ que aseguran la compacidad local del cono $C(X) = (X \times I)/(X \times \{1\})$?
La respuesta puede depender de la definición precisa de compacidad local. Aquí hay dos variantes:
$X$ es localmente compacto si cada $x \in X$ tiene un barrio compacto.
$X$ es localmente compacto si cada $x \in X$ Tiene una base de barrio consting de conjuntos compactos.
Claramente, 2. es más fuerte que 1. Si se supone que "compacto" incluye "Hausdorff", entonces 1. y 2. son equivalentes. Lo mismo es cierto para Hausdorff.$X$ independiente de la interpretación de "compacto".
Se anima al lector a utilizar su interpretación favorita.
Una condición suficiente obvia es esta:
Si $X$ es compacto, entonces $C(X)$ es compacto y, por tanto, localmente compacto en el sentido de 1. Si $X$ es compacto Hausdorff, entonces $C(X)$ es Hausdorff compacto y, por lo tanto, localmente compacto en el sentido de 2.
De manera similar, una condición necesaria obvia es esta:
Si $C(X)$ es localmente compacto, entonces $X$ es localmente compacto.
De hecho, $X$ es homeomorfo a la base $X \times \{0\}$ de $C(X)$ que está cerrado en $C(X)$, por lo tanto localmente compacto.
Si $X$ es localmente compacto, entonces claramente el subespacio abierto $C(X) \setminus \{*\} \approx X \times [0,1)$ es localmente compacto, donde $*$ es la punta de $C(X)$, es decir, la clase de equivalencia común de los puntos en $X \times \{1\}$.
Me parece que un no compacto $X$no puede tener un cono localmente compacto. La razón es que si$C(X)$ es localmente compacto, entonces $*$debe tener un barrio compacto. Puedo probar un resultado parcial (ver mi respuesta a mi propia pregunta). Pero me interesa si existe un teorema más general.
Respuestas
Aquí hay una respuesta parcial.
Dejar $X$ser un espacio contable paracompacto normal (incluido Hausdorff). Entonces los siguientes son equivalentes:
$X$ es compacto.
$C(X)$ es compacto.
$C(X)$ es localmente compacto.
Esto se aplica a todos los espacios paracompactos de Hausdorff. $X$, en particular a todos los metrizables $X$.
La equivalencia de 1. y 2. es obvia, y 2. implica 3. Queda por mostrar que 3. implica 1. Nuestra estrategia es incrustar $X$ como un subconjunto cerrado de un barrio compacto de la punta $*$ de $C(X)$. Esto se hará cambiando la base.$X \times \{0\}$ de $C(X)$ hacia $*$.
Dejar $U$ ser un vecindario abierto de $*$ en $C(X)$ con cierre compacto $K \subset C(X)$. Si$p : X \times I \to C(X)$ denota el mapa de cocientes, entonces $V = p^{-1}(U)$ es un barrio abierto de $X \times \{1\}$ en $X \times I$. Para cada$x \in X$ dejar $f(x) = \inf\{ t \in I \mid \{x \} \times [t,1] \subset V \}$. Claramente$0 \le f(x) < 1$ porque $V$Esta abierto. Además$\{x \} \times (f(x),1] \subset V$. La función$f$ es semicontinuo superior: Sea $f(x) < r$. Recoger$t$ tal que $f(x) < t < r$. Entonces$\{x \} \times [t,1] \subset V$ y así existe un barrio abierto $W_x$ de $x$ en $X$ tal que $W_x \times [t,1] \subset V$. Entonces$f(y) \le t < r$ para $y \in W_x$. Ya que$f(x) < 1$ para todos $x$ y la función constante $1$ es semicontinuo inferior, un teorema que fue probado independientemente por Dowker (ver "Sobre espacios contablemente paracompactos". Canadian Journal of Mathematics 3 (1951): 219-224 / Teorema 4) y por Katetov (ver "Sobre funciones de valor real en topología espacios. "Fondo. Math. 38 (1951): 85-91 / Teorema 2) dice que existe un $h : X \to \mathbb R$ tal $f(x) < h(x) < 1$ para todos $x$. Definir$H : X \to C(X), H(x) = p(x,h(x))$. Esta es una incrustación: de hecho, la restricción$\bar p : X \times [0,1) \stackrel{p}{\to} C(X)$ es una incrustación y $\bar h : X \to X \times [0,1), \bar h(x) = (x,h(x))$, es una incrustación. Además,$H(X)$ está cerrado en $C(X)$ y $\bar h(X) \subset V$, así $H(X) \subset U \subset K$. Concluimos que$H(X)$es compacto. Por lo tanto$X$ es compacto.
Actualizar:
El teorema anterior dice que un espacio paracompacto numerable normal (incluido Hausdorff) $X$ que no es compacto no puede tener un cono localmente compacto.
En el caso especial de un$\sigma$- Hausdorff compacto localmente compacto $X$ podemos dar una demostración alternativa que no utilice el "teorema de sándwich" anterior para funciones semicontinuas superior e inferior.
Entonces deja $C(X)$ ser localmente compacto, $U$ ser un vecindario abierto de $*$ en $C(X)$ con cierre compacto $K \subset C(X)$ y $V = p^{-1}(U)$ que es un barrio abierto de $X \times \{1\}$ en $X \times I$.
Tenemos $X = \bigcup_{n=1}^\infty K_n$ con compacto $K_n \subset X$ tal que $K_n \subset \operatorname{int}K_{n+1}$. Existe abierto$W_n \subset X$ y $t_n \in (0,1)$ tal que $K_n \times \{1\} \subset W_n \times (t_n,1] \subset V$. Wlog podemos asumir que la secuencia$(t_n)$no es decreciente. Tenga en cuenta que$s_n = (1+t_n)/2$ está contenido en $(t_n,1)$. Dejar$B_n = \operatorname{bd} K_n$ que es compacto (pero posiblemente vacío; en ese caso $K_n$está abierto). Los conjuntos$C_n = K_n \setminus \operatorname{int}K_{n-1}$ son compactos y contienen el conjunto disjunto $B_n$ y $B_{n-1}$ (formalmente establecemos $K_0 = \emptyset$). Construimos inductivamente continuos$f_n : C_n \to I$ como sigue: Para $n=1$ dejar $f_1(x) = s_2$. Dado$f_1,\ldots, f_n$ tal que $f_i(x) = s_i$ para $x \in B_{i-1}$, $f_i(x) = s_{i+1}$ para $x \in B_i$ y $f_i(x) \in [s_i,s_{i+1}]$ para todos $x \in C_i$ usamos el teorema de Urysohn para encontrar $f_{n+1} : C_{n+1} \to I$ tal que $f_{n+1}(x) = s_{n+1}$ para $x \in B_n$, $f_{n+1}(x) = s_{n+2}$ para $x \in B_{n+1}$ y $f_{n+1}(x) \in [s_{n+1},s_{n+2}]$ para todos $x \in C_{n+1}$. La colección de todos estos$f_n$, $n \in \mathbb N$, se puede pegar en un continuo $f : X \to I$ tener la propiedad que $(x,f(x)) \in V \setminus X \times \{1\}$. De hecho, para$x \in C_n$ tenemos $f(x) = f_n(x) \in [s_n,s_{n+1}] \subset (t_n,1)$ y por lo tanto $(x,f(x)) \in C_n \times (t_n,1) \subset W_n \setminus X \times \{1\} \subset V \setminus X \times \{1\}$. Por construcción$X' = \{(x,f(x)) \mid x \in X \}$ es un subconjunto cerrado de $C(X)$ que es homeomorfo a $X$ y, siendo un subconjunto cerrado de $K$, compacto.