¿Cuándo necesitamos usar probabilidad condicional?

Question

Estoy pensando en dos preguntas.

Dado que, el estudiante A asiste a clase el 50% del tiempo, el estudiante B asiste a clase el 60% del tiempo, si el estudiante A asiste a clase, hay un 80% de posibilidades de que el estudiante B asista a clase.

Ahora, dado que al menos un estudiante asiste a clase, calcule la probabilidad de que el estudiante A asista a clase.

Así que ahora, mi fórmula está a continuación:

Pr(A|A ∪ B)
= 0.5/((0.5+0.6 - 0.5*0.6))
=0.625

En segundo lugar, dado que como máximo un estudiante asiste a clase, calcule la probabilidad de que el estudiante A asista a clase.

Y aquí está mi cálculo:

1 - Pr(B) - Pr(𝐴 ∩ 𝐵)
= 1 - 0.6 - 0.5*0.6
= 0.1

Siento que el cálculo anterior es incorrecto porque si agrego toda la probabilidad, excederá 1 y no tiene ningún sentido. Por tanto, en este caso, ¿cómo podemos calcular esa probabilidad? Gracias.

Answer 1

En sus cálculos, no tuvo en cuenta la siguiente declaración:

Si el estudiante A asiste a clase, hay un $80\%$ posibilidad de que el estudiante B asista a clase.

Dejar $\Pr(A)$denotar la probabilidad de que el estudiante A asista a clase; dejar$\Pr(B)$denota la probabilidad de que el estudiante B asista a clase. Entonces se nos da la siguiente información\begin{align*} \Pr(A) & = 0.5\\ \Pr(B) & = 0.6\\ \Pr(B \mid A) & = 0.8 \end{align*} La probabilidad de que ambos estudiantes asistan a clase es $$\Pr(A \cap B) = \Pr(A)\Pr(B \mid A) = (0.5)(0.8) = 0.4$$ Por lo tanto, debería haber obtenido $$\Pr(A \cup B) = \Pr(A) + \Pr(B) - \Pr(A \cap B) = 0.5 + 0.6 - 0.4 = 0.7$$ Por lo tanto, la probabilidad de que el estudiante A asista a clase dado que al menos un estudiante asiste a clase es $$\Pr(A \mid A \cup B) = \frac{\Pr(A)}{\Pr(A \cup B)} = \frac{0.5}{0.7} = \frac{5}{7}$$Como indicó lulu en los comentarios, no se puede asumir que las probabilidades de que A asista a clase y B asista a clase sean independientes. Como puede ver, la condición que no tuvo en cuenta implica que el evento de que el estudiante A asista a clase y el estudiante B asista a clase son, de hecho, dependientes.

Observe que la probabilidad de que solo el estudiante A asista a clase es $$\Pr(A) - \Pr(A \cap B) = 0.5 - 0.4 = 0.1$$ y que la probabilidad de que solo el estudiante B asista a clase es $$\Pr(B) - \Pr(A \cap B) = 0.6 - 0.4 = 0.2$$ La probabilidad de que el estudiante A asista a clase dado que como máximo un estudiante asiste a clase es $$\frac{\Pr(A) - \Pr(A \cap B)}{[\Pr(A) - \Pr(A \cap B)] + [\Pr(B) - \Pr(A \cap B)]}$$ que dejaré para que usted lo calcule.