Dejar $\alpha$ ser una raíz de $(x^2-a)$ y $\beta$ ser una raíz de $(x^2-b)$. Proporcionar condiciones sobre $a$ y $b$ tener $F=K(\alpha+\beta)$.

Nov 25 2020

PREGUNTA: Deja$K$ ser un campo de característica diferente de 2. Sea $F$ ser un campo de división para $(x^2-a)(x^2-b)\in K[x]$. Dejar$\alpha$ ser una raíz de $(x^2-a)$ y $\beta$ ser una raíz de $(x^2-b)$. Proporcionar condiciones sobre$a$ y $b$ tener $F=K(\alpha+\beta)$.

MI INTENTO:

Dejar $\alpha=\sqrt{a}$, $\beta=\sqrt{b}$ y $\gamma=\alpha+\beta$. En primer lugar, tenemos$F=K(\alpha, \beta)$debido a la definición de campo de división. Definiendo$K(\alpha+\beta)=K(\gamma)$.

Demostremos eso $K(\alpha, \beta)\subset K(\gamma)$:

  • De $\gamma=\alpha+\beta$ sigue que \begin{align*} \gamma^2&=(\alpha+\beta)^2\\ &=\alpha^2+2\alpha\beta+\beta^2\\ &=(\sqrt{a})^2+2\sqrt{a}\sqrt{b} +(\sqrt{b})^2\\ &=(a+b)+2\sqrt{a}\sqrt{b}\qquad (*)\\ \end{align*}
  • Ahora vamos a demostrar que $\sqrt{b}\in K(\gamma)$

De hecho, multiplicar ambos lados en $(*)$ por $\sqrt{b}$ tenemos:

$\gamma^2\sqrt{b}=(a+b)\sqrt{b}+2\sqrt{a}(\sqrt{b})^2$. Entonces$$\sqrt{b}=\frac{2b\sqrt{a}+(a+b)\sqrt{b}}{\gamma^2}\in K(\gamma)$$

  • Similarmente, $\sqrt{a}\in K(\gamma)$, esto es

$\gamma^2\sqrt{a}=(a+b)\sqrt{a}+2(\sqrt{a})^2\sqrt{b}$, entonces

$$\sqrt{a}=\frac{(a+b)\sqrt{a}+2a\sqrt{b}}{\gamma^2}\in K(\gamma)$$

MI DUDA: Supongo que no hay condiciones para$a$ y $b$ tal que $\alpha=\sqrt{a}$ y $\beta=\sqrt{b}$, sin embargo, no estoy seguro. Y no sé cómo conectar esto con la hipotesis de que$K$tiene característica diferente de dos. Podrias ayudarme por favor?

Respuestas

4 lhf Nov 25 2020 at 17:28

Una vez que sepas eso $[ K( \alpha,\beta ) : K ]=4$, con base $\{1,\alpha,\beta,\alpha\beta\}$, puede proceder de la siguiente manera: $$ \begin{pmatrix} 1 \\ \gamma \\ \gamma^2 \\ \gamma^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ a+b & 0 & 0 & 2 \\ 0 & a+3b & 3a+b & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ \alpha \\ \beta \\ \alpha\beta \end{pmatrix} $$ La matriz tiene determinante $4(b-a)$ y así es invertible si $a\ne b$ ya que la característica de $K$ no es $2$. Por lo tanto,$\{1,\gamma,\gamma^2,\gamma^3\}$ también es una base y por lo tanto genera el mismo espacio, es decir, $K( \alpha,\beta ) = K(\gamma)=K( \alpha + \beta )$.

En pocas palabras: la condición principal es que $[ K( \alpha,\beta ) : K ]=4$, o equivalente, $\beta \not\in K( \alpha)$.

Este enfoque no funciona en características $2$ porque $[K(\gamma):K]\le 2$ ya que $\gamma^2 = a+b \in K$.

2 reuns Nov 25 2020 at 11:33

Asumimos que $x^2-a,x^2-b$ son irreductibles sobre $K$ y $b\ne a$, ya que de lo contrario el problema es trivial.

  • Si $\sqrt{b}\not \in K(\sqrt{a})$entonces muestra eso$\sqrt{a}+\sqrt{b}$tiene 4 conjugados distintos (ahí es donde usamos$char(K)\ne 2$) lo que implica que $[K(\sqrt{a}+\sqrt{b}):K] = 4$.

  • Si $\sqrt{b}=u+v\sqrt{a} \in K(\sqrt{a})$ entonces $v\ne 0$ entonces $(u+v\sqrt{a})^2\in K$ implica $u=0$. Ya que$b\ne a$ entonces $v\ne \pm 1$ y por lo tanto $K(\sqrt{a}+\sqrt{b})= K((v+1)\sqrt{a})=K(\sqrt{a})$.